小意大利距离我的公寓很近，节庆的巡游多得很，我很爱看。空闲时我常和绍远、他太太和他们的幼子小兵在一起，我抱着小兵和他们一起在唐人街或其他地方闲逛（小兵后来在哈佛做了我的研究生，2004年拿了博士）。邻近唐人街是桩美事，一方面有五花八门的餐厅可供选择，另一方面也可以在书店中浏览书籍。到了周末，我便到普林斯顿看友云。总的来说，在纽约的日子是颇为适意的。
每天从苏豪的公寓，穿过格林威治村，走向柯朗所是很好玩的一程，途中不乏有趣且出乎意料的景况。例如，好几天都经过一部停在泉水街的车子，开始时车子外观无恙。可是一天后，车胎就不翼而飞了。再过了几天，车身所剩的东西愈来愈少。到了最后，整部车子就不见了。原来的位置给停上一部簇新的车，大家都不知它能待在那里多久。
可是，到了12月底，我便要返回加州。我陪友云飞往洛杉矶，到大型科技公司TRW（后被诺斯罗普·格鲁曼公司兼并）求职。过程很顺利，不久她便被雇用了。
且说一些数学之外的事吧。在纽约这三四个月是非常愉快的，我在柯朗所跟埃里克·贝德福德（Eric Bedford）交上朋友，他刚从密歇根州拿了博士。他教我如何搭地铁。我们在这城市到处逛，边走边谈复蒙日—安培方程，他正在研究这类方程式，但方法和我偏重几何的思路截然不同。
在此之后，友云回到普林斯顿，而我则返回斯坦福，继续埋首于卡拉比猜想之中，我意识到破解已近在咫尺，巅峰已经在望，只差跨过最后的障碍，只要再坚持一下，就能登上顶峰。
可是不久之后，就知悉苏联几何学家阿列克谢·波戈列洛夫（Aleksei Pogorelov）独立地解决了同样的问题，他采用的方法跟我们的完全不一样。他的文章比我们早面世，不过那是用俄文写的，而且发表在不甚著名的学报上，所以我们并不知晓。我们的论文纵然不是首发，但它并非多余之作，除结果本身外，其中所用的方法很重要，后来也用于解决其他问题上。
不过，另一件事我也时刻记挂在心上。1976年夏天，斯坦福春季学期过后，我到普林斯顿看望友云，此行的目的就是向她求婚，这距离伯克利图书馆那刻骨铭心的一瞥已有五年半了。在这段不短的日子中，我俩的关系有起有落，但足以告慰的是，她答应了。我们正式订婚，弟弟成栋从石溪来到普林斯顿，我们一起吃晚饭庆祝。
在纽约逗留期间，这个最后的障碍一直无法跨越。不过，失之东隅，收之桑榆，绍远和我在另一方面却成功了，我们解决了高维的闵可夫斯基问题。其实早在年初，在这问题上已有些进展。莫泽知道我们的工作后十分兴奋，反正柯朗所的人，看到所中有人解决了某些难题，都会兴奋莫名。他请我们在研讨班上做了报告，大家的反应非常不错。
友云不仅答应了我的求婚，她也接受了TRW的工作，工作从这年秋天开始，即是说，我们要搬到洛杉矶去了。为了此事，我接触了UCLA的朋友、几何学者罗伯特·格林，说希望到那里访问一年，我的斯隆学者奖金足以支付秋季学期的薪金，希望大学能支付冬天和春天两个学期，我可以教书。格林说这事容易办，这样友云和我便可以在洛杉矶住在一起了。她知道我这么快就把事办好之后很惊讶，要知道，那段日子找教职并不容易。直到如今，我还是很感激格林的帮忙，UCLA的工作环境很理想。
1974年时，我已经知道如何处理三阶估计。到了1975年的夏天，我要到纽约前，成功导出了二阶估计。在柯朗所这几个月，我在概念上想通了，原来有了零阶和二阶估计，就可以推导出一阶的估计。换句话说，整个证明就剩下一个估计，即零阶估计。我只需要证明函数不能变得太大，即它的极大值不能超过某个既定的常数。到了这一步，这个复杂的猜想，原来只有少数数学家明白的难题，一下子变成了一个看似水到渠成的命题了。可是，要建立这估计，即是在函数上面找到一个隐藏的天花板，实际上并不好办。
我一直留在普林斯顿，到了7月初，友云和她实验室中的同事告别。我们收拾行装，和她爸爸妈妈一起，打算做一次横跨美国之行。第一站到了首都华盛顿，正赶上庆祝美国建国二百周年的国庆烟火表演。当时和百万群众在一起，很多人满怀激情，欢呼喧闹，我们欣赏了国家广场的烟火，华盛顿纪念碑和国会山庄成了璀璨烟火的背景，更显壮观。
为了对付这条关键的复蒙日—安培方程式，我把整个证明分拆成四个不同的估计，那就是所谓零阶、一阶、二阶和三阶估计。前面说过，蒙日—安培方程的解是个函数，我们要做的乃是找出对这函数的界，说明它沿正的方向不能太大，沿负的方向不能太小，即是说，该函数不可能变成无限大。零阶的估计说明函数的极大值能够达到，一阶估计则给出函数一次导数的大小。具体而言，必须证明一阶导数的绝对值不会变得很大。换句话说，函数本身的振幅不能过大。类似地，二阶估计有关函数的二阶导数的最大绝对值，我们需要证明它是有界的，即一阶导数不能有快速的振动。同样的想法可用于三阶或更高阶的情况。这些高阶的估计提供了函数如何变化的讯息，如变化有多大和多快等。
接着，我们开车去波士顿探访友云的表姐，她的丈夫刚刚过世。这是我第一次到这个城市，觉得挺不错，没想到不久之后会以此为家，至今生活了四十多年。
车子虽残破，但开到普林斯顿绝无问题。我尽量抽时间去看望她。她做研究忙得不亦乐乎，而我心中常记挂着卡拉比猜想，工作一直在进展，虽然还未到达攻顶的时刻，但可行的攻顶路线已渐渐露出眉目了。
接着我们在纽约州的伊萨卡停下来，去看友云的另一位表亲。之后我们便开始横跨美国的旅程，路上风光不绝，友云父母目不暇接。我们到了黄石国家公园，沿着落基山脉向南到了大峡谷，之后我们在亚利桑那州的弗拉格斯塔夫市上了40号州际公路，一直开到加州的巴斯托市，然后转上15号州际公路到达洛杉矶。沿途风景极其壮观，我当时正沉醉于爱情的甜蜜之中，向往着未来的婚姻，心情尤为兴奋。
我不禁慌起来了，没有车子，跑到东岸来，整个陪伴友云的计划都要泡汤了。幸运地，我遇上一位老同学，他在纽约的旅行社工作。他告诉我有一种低廉的“租一部破车”的地方，只要拿出一笔较高的押金，便可以租到车子。租来的车可勉强开动，外表平平，但也够用了，毕竟我的选择不多。
然而，在差不多整个旅程之中，我的心思不时悄悄移向数学。在驾车时，我想到一个拓扑学上的古老难题庞加莱猜想，至今没有人能找到解决它的途径。原来的庞加莱猜想和如何在拓扑上刻画球面有关，猜想断言任何“紧”的三维曲面（或流形）在拓扑的意义上等价于球面的条件是：在这曲面上任一闭曲线能在连续的变形下缩成一点。所谓“紧”是指这曲面只占着有限有界的空间。满足上述条件的曲面叫“单连通”，或是说，它不像甜甜圈般，有一个或多个的洞。依照这样的定义，猜想可以这样陈述：是否每一个紧而单连通的三维曲面在拓扑上等价于球面？这猜想看起来不是那么难解决，然而自从1904年提出后，一直没有多大的进展。
柯朗所给我如此理想的工作环境，然而，我到那里而非其他地方的主要目的，却是要亲近友云。她离开斯坦福已差不多十五个月了，我们之间没怎么联络。如果要约会她，带她到校园外的地方去，车子是必需的。可是很不幸，我当时没有信用卡，而在纽约租车子非信用卡不可。我请斯坦福替我开了证明，说我是斯坦福的教员，现正在柯朗所访问，但租车公司依然不为所动。
大家或者以为我会把精力放在卡拉比猜想上，毕竟这猜想占据了我的心思好多年了。我对它特别关注，乃因它较为普遍，而且能帮助人们找到一大类未知的流形。但我一直喜欢同时考虑几个题目，当一个题目过不去时，便可以转到另外一个上去。如果这些题目具有某些共通之处，那么从某题目中得到的新想法，或许可以应用到原来的题目上去。
我一心要充分利用这个机会，然而首要的事，却是在曼哈顿找一个落脚的地方。那儿租金很贵，一个单身公寓，月租最少也得二百美元，这不适合我的预算。幸好，于尔根·莫泽伸出援手。莫泽当过柯朗所的所长，也是陈先生的朋友。他的朋友在泉水街租了一间租金管制下的公寓，月租只需五十美元，简直妙极了。莫泽可没有权利把公寓租出，因为租约上不是他名字，所以他嘱咐我不要跟房东接触。刚巧那房东是个不通晓英语只讲粤语的华人，我当然能讲粤语，却要假装一句也听不懂他说的话。如果公寓出了什么问题，我只管跟莫泽说，他会把问题弄妥。莫泽愿意为一个可说是萍水相逢的人这样做，可见他为人仗义。
况且，解决卡拉比猜想关键的零阶估计，需要用纸和笔做大量的计算，试问双手放在驾驶盘上的我，如何能安全和有效地做计算呢？这就是我会选一个较具思考性的题目的原因，庞加莱猜想是个好的选择，这样我脑子中负责数学的部分就不用闲下来了。具体如何求解这个猜想还有待探索，或者，目前能做的只是幻想一番。这样，至少在路上也有些思想性的东西可做。
1975年8月，我到了纽约。这次纽约之行还有个好处，斯隆学者是不用教书的，我可以全心全意地破解卡拉比猜想和其他数学难题。
这次从普林斯顿到南加州的长途旅程，我们总共开了六千多公里的车。在整个旅程中，我的心中总离不开庞加莱猜想（在第十一章中会详细展开）。很遗憾地跟大家说，在此期间并没有突破，但我相信几何分析会在其中发挥作用，未来的发展将会印证我这想法。
一当狄利克雷问题（弱形式）告一段落，我立即向卡拉比猜想发起进攻。我的策略很直接，就是把从实蒙日—安培方程学到的东西，尽量套用在复蒙日—安培方程上。绍远对做复几何的兴趣不大，这时就鞠躬退场，转战他感兴趣而又更熟悉的题目去了。附带一说，他也会到柯朗所去，我们还有机会在那儿聚首，并且一起为几何分析这门新的领域添砖加瓦。
7月中旬我们到了洛杉矶，我们先租了一个三室公寓，同时也在找其他房子，时间并不多。我们的婚礼已定在9月初，必须在这个大日子前找到。不久，我们在圣费尔南多谷的塞普尔韦达（Sepulveda，以前是农业区）找到一个地方，那里离海颇远，到UCLA开车也要花些时间，交通顺畅时需半小时。但“交通顺畅”和“洛杉矶”两词是很难共存的，故此一般要超过一小时，而友云要到在雷东多海滩的TRW上班，时间还要长一点。当然，如果能找到更方便的地方就好了，可是当时这间首先入眼的房子是我勉强能负担而又能提供所需设施的唯一选择。
幸好，尼伦伯格毫不犹疑就说，我应该在1975年秋天访问纽约大学的柯朗研究所，那儿距离普林斯顿不远。尼伦伯格对我到曼哈顿一事十分热心，午餐快完时，事情也差不多敲定了。
然后我们就忙得一团糟了，在一个多月的日子中，既要收拾新房子，又要筹备婚礼。我开车到处走，购置旧家具和其他基本用品，而友云则准备她的新娘礼服及其他婚礼上的有关事宜。她的父母和我们在一起，我母亲和弟弟成栋则在婚礼前十天左右到达，母亲从香港飞过来，而成栋则从哈佛来。他几个月前在石溪取得数学博士学位，现在在哈佛当本杰明·皮尔斯讲师。
我写了封信给项武忠（他当时刚从耶鲁转到普林斯顿），问他我可否在普林斯顿以斯隆学者的身份至少待上半年。几天后，他告诉我数学系并没有足够的办公室。时隔多年，人也比较世故了，知道项武忠和其他人如果愿意我来，办公室总是可以找到的。我写信给系主任可能有不同的结果，但已经太迟了。依靠相识的人是个错误，因你不知道他是否欢迎你。（不无讽刺地，几年后情况完全改变了。普林斯顿的系主任请项武忠打电话来，说要请我去当教授。我当下推却了。那不是报复，只是当时还不是去的时机。）
婚礼于1976年9月4日举行，礼毕即和亲友午宴。事前跟陈先生说了结婚的事，因为将会从简，没有想过他会出席，结果他和师母都来了，我十分高兴。友人罗伯特·格林和布鲁斯·本内特也来了，还有母亲住在加州的表亲夫妇。
不过，这次和尼伦伯格在旧金山的会面，倒在另一方面发挥了作用。同年较早一点时，奥塞曼推荐我为斯隆学者（Sloan Fellow），这是给年轻助理教授的殊荣。斯隆学者可以在任何学校访问一年，薪金由斯隆基金会资助。开始时，我计划利用这身份到普林斯顿，借此机会和友云再聚，重新开始，甚至更进一步。
友云和我原先计划到卡特琳娜岛度蜜月的，但我们高估了洛杉矶的交通，结果赶不上渡轮，只好去了圣迭戈。那儿也不错，我们享受了一段美好的时光，但时光很短暂，两天后便要上班了。
我告诉陈先生，绍远和我很有信心已经解决了这个问题。当时，尼伦伯格正打算1974年春来访伯克利，陈先生于是安排我们四人在路易餐厅共进午餐，餐厅坐落在离金门大桥不远的沙滩上。在见面前一晚，绍远和我小心翼翼地把证明检查一遍，肯定不能犯错。尼伦伯格是偏微分方程的权威，我们不想犯错令自己尴尬。我们找到论证中的一个错误，幸好在凌晨两点改正了。吃饭之前，我们向尼伦伯格说明我们的解法，他觉得看来十分合理，绍远和我都很开心，但晚上再看时又发现了更多漏洞，这些漏洞令人沮丧，但同时亦使我们对这类方程有了更进一步的了解。六个月之后，我们终于想出补救漏洞的方法，并最终解了一个比较弱的狄利克雷问题。十年之后，尼伦伯格和其他人一起解决了狄利克雷问题的一个较强的版本。
回到研究工作上，一如既往，我感到十分兴奋。由于友云和我、她父母和我母亲全住在一起，生活上难免有些摩擦，工作顿时成了我的避难所。我尽量把自己关在书房，把全部心血都倾注在卡拉比猜想上。一两个星期之内零阶估计完成了，于是整个问题亦解决了。我如释重负，十分高兴，但也惊诧最后的那几步比预期顺利。
尼伦伯格已安排了在1974年温哥华举行的国际数学家大会上做一小时的主题演讲，题目正是他和卡拉比对这个狄利克雷问题的解答。但是，陈先生告诉我们，卡拉比和尼伦伯格在他们流通的预印本中发现了一个错处，于是问题顿成悬案，成为众人注目的难题。
有人问我花了六年时间，断断续续地工作，最后证明了猜想有何感想。也不知为什么，也许是父亲精神的感召吧，我想到五十年前去世的学者王国维。王国维撷取宋词的片段来描述成就大事时的三段经历。开始时，“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”；然后是，“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”；到了最后，“蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处”。
在狄利克雷问题或卡拉比猜想中应用的估值法过于繁复，在此描述并不适宜。考虑较简易的逼近技巧牛顿法，用此法求解实数值函数的零点，即该函数的图像和x轴的交点。我们从估值x0开始，穿过x0上图像的切线与x轴相交于x1，如此继续下去而得到x2、x3……这些点会愈来愈接近于零点x。（原图引自顾险峰和殷晓田）
这三个阶段，简洁而又富诗意地概括了证明卡拉比猜想时我的心路历程。开始时，要找到一个制高点，对整个问题有了通透的理解；然后不眠不休、废寝忘餐地工作；最后，灵光一闪，突然看到了完成证明的途径。
或是由于王国维的文章，我又记起宋词的另一名句：“落花人独立，微雨燕双飞。”它精确地捕捉了解决卡拉比猜想之后我的心情。句子描写的，乃是暮春园林的情景。这个意象出现在脑海之中，乃因解决了这个数学问题后，不知何故令我对大自然有了一种新的认知和感受。想到这句子，感受与自然契合，正如飞行中的双燕般合二为一。
复蒙日—安培方程是卡拉比猜想的中心问题，在对付它之前，绍远和我认为应先做些额外的工作。1974年，我们开始研究狄利克雷问题。彼德·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Peter Gustave Lejeune Dirichlet）是德国数学家。我们开始时并不知卡拉比和尼伦伯格也在研究同一问题。所谓“边界值问题”，其基本思想可简言如下：正如简单的方程式的解是一点集如圆形或拋物线，更复杂的微分方程的解乃是曲面。狄利克雷问题提出：假如这个曲面的边界已知，能否从此确定曲面内部每一点的位置，使这曲面满足给出的微分方程？标准的方法是，正如上面已经提过，利用一连串的估值和逼近，最后得出满足这偏微分方程的函数。
这只是在感性的层面上而言，在理性的层面上，我还未能完全说胜利。三年前曾错误地证明猜想是不对的，这次不能重蹈覆辙。我用上了四种不同的方法，小心翼翼地把证明检查了一遍又一遍。我跟自己说，如果这次再错的话，就放弃数学改行，就是去养鸭也行。我也找别人替我看，将一份文稿寄给了卡拉比，接着又安排去宾夕法尼亚大学访问。
我在为他们高兴的同时，想到自己目前仍是孤身一人。我一如既往投身于工作，早已习惯了长时间的工作，有时直至深夜，甚至在案前睡着了。这样的生活方式，当然不利于呵护一段男女关系。不过，我现在孑然一身，手头也不乏数学项目，供我消耗时间，燃烧思想，尤其是卡拉比猜想，早已令我沉迷而不知返了。
我与UCLA的同事戴维·吉泽克尔早在高研院的时候便认识了，他告诉我哈佛的代数几何学家戴维·芒福德要来演讲，我开了两小时车到加州大学欧文分校他演讲的地方。听杰出学者的演讲，虽远也值得。芒福德讲的主要是一条在代数几何中出现的“不等式”，数学中所谓不等式是指某项小于或大于另一项。原来的不等式是约十年前由莱顿大学的安东尼厄斯·凡·德文（Antonius van de Ven）提出的，但芒福德特别提到俄国数学家费奥多尔·博戈莫洛夫（Fedor Bogomolov）最近有关的工作。
此时，一个香港的老朋友徐少达出其不意来访，还带上他的女朋友，这使我暂时把苦恼抛开。他女友打算短期内回香港，正和他处于分手的边缘。我们即兴到优胜美地国家公园一游，黄昏时就坐上我的车子出发，到山上已经很晚了。这次仓促的出游，正是我们需要的。高耸入云的山峰，令人屏息凝神，神奇的力量使人精神超越，纵览天下，耳目一新。此行如此美妙，少达和女友决定共订鸳盟。
听着听着，我突然发觉曾见过这不等式，就在最初尝试反证卡拉比猜想时，我可以肯定它可以表达成芒福德写出来的样子。演讲后，我立即就跟他说，能证明他提出来的东西。但我很肯定当时他并不相信。我太年轻，而且在代数几何界又寂寂无名。回家后，我把计算重新再做一遍，发现一模一样的不等式，在构造卡拉比猜想的反例时确实出现过；现在猜想的正确性建立了，则其推论也是对的。这意味着我证明了芒福德提出的不等式。现在这条不等式通称为博戈莫洛夫—宫冈—丘不等式（Bogomolov-Miyaoka-Yau inequality）。关于这不等式还有一个未解决的问题，就是当式中的不等号变成等号时会是什么情况，我的证明能够说明在什么情况下才能有等号。等号的刻画又能导出另一个著名问题的答案，这个问题可追溯至1930年代，称为塞维里猜想。
我并没有让这些挑剔破坏工作上的热情，一切进展得很顺利，可在个人问题上遇到了些许挫折。1974年6月，友云原来在斯坦福当博士后，但她随即在普林斯顿找到另一份博士后工作。普林斯顿的等离子物理实验室坐落在大学校园，是美国能源部的实验室，对她来说这是份绝佳的差事。正常来说，我会替她高兴；然而，这意味着我们不久之后，又要分隔在美国的两端了。她很快便离开了，驾驶着车子和她母亲往普林斯顿去了。
第二天，我给芒福德写了封信，把论证说了一遍。他把这信给同事菲利普·格里菲思（Phillip Griffiths）看了，两人都觉得论证合理。破解的消息传得很快，开始时，大家对不等式和塞维里猜想的兴奋程度比对卡拉比猜想的还要高，纵使我反复指出卡拉比猜想是更重要的结果。
从与格罗莫夫和瑟斯顿等人的交流中，我上了宝贵的一课。那就是，在几何分析作为一种工具广为人所接受之前，必须克服来自主流的几何和拓扑学者的重重阻力。想深一层，所有新的方法，尤其是和已知迥异的，在成为潮流前莫不如此。对新事物保守的反应，一方面使新事物小心谨慎地发展，这是好事，但另一方面亦会阻碍其向前的步伐。
罗伯特·格林在UCLA的办公室就在我隔壁，他和数学界许多人一样很赞赏这项工作。由于工作就在他的学校完成，他就更加兴奋了。但是，好些代数几何学者对两个代数几何上著名的猜想同时被破解并不高兴，因为我并未用到任何这领域中的标准方法。但芒福德和其他人不一样，他思想开放，两年后哈佛要聘请我，部分原因或许在此。
后来我和比尔·瑟斯顿也有类似而和谐的交流。瑟斯顿和我同时期在伯克利当研究生，他在几何和拓扑上扬名世界。瑟斯顿看待几何学，就有点像用细小的片片，如乐高般嵌成整个几何的空间或流形，从而勾勒其内部的结构。我则采取差不多相反的做法，利用微分方程来开启物体的内在结构和总体的拓扑。两种理念非常不同，却殊途同归。必须重申，瑟斯顿想得透彻而具原创力，他的论证不必时时详尽清晰，其理念却对数学有深刻而长远的影响。
这件工作使我一夜成名，至少是声望高了，各种机会接踵而至。麻省理工的艾沙道尔·辛格这时候问我可否从11月开始到麻省理工访问一个月，那时我仍然拿着斯隆学者奖，不用教书，于是接受了他的邀请。
这次研讨班不算成功，格罗莫夫不断高声质疑，它怎可能会好。不过，其后我把证明详细地再讲给他听，并答复了他一次又一次的问难，终于把分析的方法化作纯粹的几何术语，阐明了上述空间有无限体积。他最后也释然，对结果默默接受了。几年后，他将我的几何解释应用于其他几何问题上，他的追随者甚至将这些结果冠上他的名字。
到麻省理工前，我在费城稍事停留，去看望卡拉比和其他人，把证明详细演示一次，系里的杰里·卡斯丹（Jerry Kazdan）做了一份详细的笔记。令人失望的是，在我不知悉的情况下，他把笔记给法国数学家蒂埃里·奥班（Thierry Aubin）看了。奥班曾独立地证明了卡拉比猜想的一个特殊情况，但有了卡斯丹的笔记之后，他便宣称证明了这个猜想。幸好后来卡斯丹把事情讲清楚，在一篇公开发表的注记中，说明他于“1976年12月在一场演讲中，知道了丘解决卡拉比猜想的方法，并做了详细的笔记。然后在与奥班一起主持的讨论班中讨论了笔记，并做了适当的推广”。这样一来，卡斯丹避免了可能由此衍生的令人烦厌的争论。
他对我说话的态度，好像我是个差劣的学生，没有好好地做作业。在研讨班上，他花了不少时间来表达对内容的不满。说到底，据我揣摩，是他不认为几何分析值得发展。他坚信任何几何上的定理，都必须用直观几何的方法来证明，不能用拓扑或图形解释的方法，而我不这么看。整个几何分析正好建基于这信念：深入的几何信息除了从拓扑或几何图形直接得到外，还需要加上大量分析的方法，尤其是新近发展的非线性分析的工具，并由其成果支撑。我也很希望从现代物理学和工程学上学习到新的工具和理念，四十年来的经验，显示这是正确而且丰富的想法。
跟卡拉比谈完之后，他说证明看来很不错。卡拉比是卓越的几何学家，却不是偏微分方程的专家，他提议不如一起找尼伦伯格谈谈。我们三人都有空的日子，竟是圣诞节当天，于是约好那天在纽约见面。卡拉比宣称他一生中只有这一次圣诞日有工作在身，纵使他和尼伦伯格都是犹太人。我也从来不过圣诞，我们三人能够在这一天作竟日之会，其因在此。
这次在伯克利讲的是另一主题，就是在几何空间中的“谱”，即空间变形时产生的共鸣的、振动的频率。原则上，它和敲打鼓面变形时产生的一系列频率相似。格罗莫夫和上次一样中途发难，宣称我采取的研究路线根本不对。这次我的做法，就如上次争辩中的做法一样，非常倚重非线性偏微分方程，而格罗莫夫并非这方面的专家，或者他只不过是弄不清楚那证明。但他并没有要求我解释明白，而是嚷道我的理论有严重错误。
在费城短暂逗留后，我便去了波士顿，中途在纽黑文的耶鲁停留了一下。辛格虽然是请我去麻省理工的人，但他当时有些私人事务要处理，常常不在波士顿，因此在停留期间，我们只见过一次面吃晚饭，但这次晚饭有意想不到的结果。辛格当时正和迈克尔·阿提耶和奈杰尔·希钦（我在高研院的朋友）合作，研究杨—米尔斯方程的特殊解，这些方程在粒子物理学中很重要。辛格十分重视物理和数学的统一，我也受到他的影响。几年之后，也着手从事研究杨—米尔斯方程的解了。我和卡伦·乌伦贝克在这方面的文章被认为是代数几何中举足轻重的工作，那要感谢辛格给我指对了方向。
1974年春天，陈先生邀请我到伯克利演讲。出生于俄罗斯的数学家米哈依尔·格罗莫夫（Mikhail Gromov）被视为当世最杰出的年轻几何学者之一，他正初次访问伯克利，伯克利待之为上宾。在六个月前，我曾和格罗莫夫有过一次不甚愉快的经历。那一次我用几何分析的方法证明了某个空间具有无限的体积，格罗莫夫却说我的证明一定不对。我并不能肯定他是否了解我采用的方法，无论如何，这结果经得起考验，绝没有错。
除了和辛格吃了一顿饭外，我在麻省理工基本上是一个人过，周围也没有什么几何专家。他们给我一个小小的公寓，到系里只是步行的距离，我花了大部分时间把卡拉比猜想的证明写出来。雪愈积愈深了，从窗口向外望，景色很美。文章写完后，我打算把它投到柯朗所出版的《纯粹数学和应用数学通讯》。莫泽、尼伦伯格和其他的柯朗所人对我一直很好，故此把文章投到那里以示谢意。我亦完成了一份简短公报，略去技术细节，刊登在1977年的《国家科学院通讯》上。陈先生是国家科学院备受尊敬的院士，我的文章是经由他送出去的，分量自然有所提升。
解决这类问题的策略，正如上一章所述，在于寻求一系列的近似解，近似的程度愈来愈精准，以至最后能收敛至真正的解。我希望同样的方法可以应用于复蒙日—安培方程，从而破解卡拉比猜想。证明这方程存在解，建立了卡拉比所设想的具特殊几何性质的空间的存在性。
哈佛，从麻省理工沿路往下走两三公里便到了。他们请我给卡拉比猜想的证明做一系列的报告。哈佛的人，包括芒德福、格里菲思、广中平佑、访问学者安德烈·托多罗夫（Andrey Todorov）等，除了事务缠身的辛格外，似乎都比麻省理工的人对卡拉比猜想更感兴趣，所以我逗留在哈佛的时间更多，哈佛甚至请我在麻省理工的工作结束后到那里再待一个月。
也许是幸运之神的眷顾，绍远和我不久即有所获，我们解了一个在著名的闵可夫斯基问题中出现的蒙日—安培型的方程。这个问题，以最简略的言辞来说，就是要找出给定曲率的曲面。你或者已经猜到为何我对这问题感兴趣。自从四年前修了莫里的课后，我一直对几何和偏微分方程的关系情有独钟。这亦是几何分析发展的主要动力，我正在这领域中努力，开发耕耘，并与其他志同道合者如郑绍远、理察和西蒙等群策群力。
我仍然记得在稍后时间发生的，和代数几何学者广中平佑的一段有趣对话，谈及亚裔在美国从事数学研究的情况。生于日本的广中平佑，1970年在哈佛时拿了菲尔兹奖。他指出：“亚裔在美国好的大学拿到终身教席，要比在二流大学拿终身教席来得容易，因为在二流大学里，研究不是排在首位的，工作的升迁和其他因素有关，例如高尔夫球的水平。”对于从未拿起一支高尔夫球杆的我来说，这话令我松了一口气。只要在自己的专业上出类拔萃，就不用靠运动上位了，运动恐怕永远不会成为我的强项。
在斯坦福的1973—1974学年，我开始着手求解蒙日—安培方程。那时距离蒙日发现这方程已差不多两个世纪了。可幸人们已经找到一些可使用的数学工具，而我自己也找到一些新的法子，这是蒙日当年不可能想象到的。我首先考虑在实数域上的蒙日—安培方程，它和曲面的曲率有关。实方程比复方程的处理来得容易一些，我邀请友人郑绍远合作。他当时在伯克利，时常来斯坦福看我。我的策略是借着对实方程的研究，来加强对方程的了解，然后才对付比较麻烦的复方程。
已说过了，我喜欢哈佛，尤其是数学系内同事的融洽，令人羡慕。圣诞快来了，我前往纽约和卡拉比、尼伦伯格赴那命运攸关的约会。那天雪不停地下，除了中途到唐人街吃饭外，我们整天都在尼伦伯格的办公室内，把证明再次推演。圣诞日只有唐人街的饭馆还照常营业。到了天将黑时，我的证明犹是屹立不倒，大家都没有发现任何漏洞。卡拉比和尼伦伯格说他们会再仔细看，但至今都没有发现任何问题。
蒙日的故事告诉人们，除了对数学本身的兴趣外，数学事业的开展可以是间接或出乎意料的。这里提到蒙日的原因，乃因卡拉比猜想可以由一条蒙日—安培方程表达出来。前面说过，这是一条非线性的方程，含有至少两个独立的变量，并且是“复”的，即是说，它和复数有关。对我而言，面对的挑战是，除了一维的简单情况外，没有人曾经解过复的蒙日—安培方程。在卡拉比猜想中，我要求解的乃是高维空间上的复蒙日—安培方程，这是整个猜想的巨大绊脚石。卡拉比提出这猜想二十年来，工作的进展甚为缓慢，其因在此。
上面说过，证明卡拉比猜想的简略版本发表于1977年，而详尽的版本则见于一年之后。那整整一天的聚会确立了证明的正确性，卡拉比宣称那是他一生中最美好的圣诞礼物，我也有同感。1976年就借这美好的音符作结。除了一事，暌违了两个月，我十分挂念友云，是时候回到洛杉矶，在温暖的南加州阳光下与她重聚了。
1768年，他开始教授物理和数学，并且研究偏微分方程，以及微积分在几何上的应用。到了1780年代，他在巴黎找到数学教席，并着手研究一类特殊的非线性偏微分方程，这方程后来称为蒙日—安培方程。之所以把安培的名字放上去，可能是反映数十年后，安培对方程的某些修订。大家知道，安德烈—玛里·安培（AndréMarie Ampère）是法国科学家，对电磁学有很大的贡献，电流的单位安培就是以他名字命名的。（说“可能”是因为我不肯定安培实质做了什么贡献，有时方程式会不知何解地附上某人的名字。）
也许值得再回顾一下，卡拉比猜想的证明成就了什么。首先，它说明了非线性偏微分方程和几何学结合起来，会产生很好的效果，过去几年努力工作，即是基于这样的看法。其次，它证明了一大类由卡拉比猜测的多维空间的存在性，这些空间具有种种特殊的属性，是以前从未发现过的。最后，它找到了无物质时爱因斯坦方程的一个解，而且是迄今所知最大的一族解。
一年多后，机会终于来了。当时正要建造一个堡垒，有人问他如何设计枪炮的位置，好使堡垒的守军能避开敌人的炮火。蒙日利用自己创造的几何方法，完成了这个任务，速度之快甚至引起一些人的疑心。但无可怀疑的，是他数学上的才能，让他得以一展所长。
从1915年爱因斯坦提出广义相对论开始，正如物理学和计算机专家安德鲁·汉森所言：“我们一直努力寻找满足这条复杂方程的流形，或所谓爱因斯坦空间。多年来，求解并不是容易的事。但现在，奇妙而简明地，一下子在任意维数上都找到了。它们很多，甚至可能有无限多个，每个都满足爱因斯坦方程。”
1746年，加斯帕尔·蒙日（Gaspard Monge）生于法国博纳，位于勃艮第产酒区，邻近第戎，他爸爸是个货郎。蒙日从小就显露出绘制建筑物草图的才能，还是少年的时候，他画的一幅细节丰富的大型家乡图，引起了一位军官的注意。在这位军官的帮助下，蒙日进了法国北部的一所军事学院。由于学校只为贵族子弟而设，平民出身的他并不能正式入学，只能在分隔开来的另一边学习绘图和测量，这样的安排并不能使蒙日满意，他渴望能碰上一个可以尽展所长的机遇。
有时候，一条定理的证明标志着一个篇章的终结。举例来说，大数学家希尔伯特于1900年提出的“希尔伯特第五问题”，到1952年便完全解决了，其中哈佛的安德鲁·格利森出了不少力。整个证明牵涉不少精妙的步骤，但它没有诱发新的研究，反而把这领域中大部分有趣的问题都解决了，可接着做的事情并不多。
——《临江仙·记七六年事》选句，2014年
打从一开始，我便知道卡拉比猜想不一样，因为它连通着几何学的某一区域，深入而又宽广。这猜想的破解打开了一个缺口，带我们走进了亟待开拓的数学领域。这并不是一厢情愿，而是基于我证明的方式。回忆一下，开始时我尝试构造反例来说明猜想不对，但，如果猜想是对的，事实上也证明了，那么这些反例也是对的了，于是它们都各自成为定理了。是以我在证明猜想的公报中，也附上了五条在代数几何学上有关定理的证明。其中最重要的结果，上面讲过，乃是悬空超过四十年的塞维里猜想的证明。此外，五六条代数几何中没那么重要的问题也解决了。总而言之，曾被视为“好到难以置信”的猜想，其结论竟比原先认为的还要好。
弦琴天籁得相窥，太初玄秘现，物数竟同归。
这还不是整个故事的全部，我心中深处有种异常的感觉，觉得卡拉比猜想及其证明，除了和爱因斯坦的广义相对论有关之外，还和物理其他方面有着重要的联系。我对这种联系毫无头绪，只是坚信一定是有的。过了整整八年，物理学者才找到这种和“卡拉比—丘定理”的联系，但这样的等待是值得的。
记得好事新谐，笙调心印人依。