曹、朱的论文开始后不久,有若干页重复了克莱纳—洛特的论证而没有标注,这是不幸的错误。他们解释说是因为在一整年的工作中,笔记当中有一项具体的证明,即有限的距离意味着有限的曲率,其实来自克莱纳—洛特的文稿。这个疏忽虽不经意,却引发很大的尴尬。作为学报的编辑,这些过失也受到非议。几个月后,学报刊登了曹、朱的道歉,正式鸣谢克莱纳和洛特的工作。
中国的数学需要推一把。提升中国的数学水平是我一向的宗旨,这是先父的教导,老师陈省身也秉持同样的宗旨。在这件事上,我的勉励发挥了作用。曹、朱尽了最大的努力,他们热切地(也可说是成功地)弄清了整个证明。有时也不免有所怀疑,我的讲话招致了反弹,后者其实是一种情绪,即中国人在数学世界中仍然是二等公民,故此不要把自己放在世界的前列。
2006年8月28日,我再次受到攻击,而且比以前都来得严重。《纽约客》杂志刊登了西尔维娅·娜萨(Sylvia Nasar)和戴维·格鲁伯(David Gruber)合著的文章《多重的命运》(Manifold Destiny)。娜萨是数学家约翰·纳什(John Nash)的传记《美丽心灵》(A Beautiful Mind)一书的作者,我曾花了不少时间和她在一起。而另一位作者格鲁伯毕业于哥伦比亚大学新闻系,当时在罗格斯大学攻读海洋学,我没有怎样跟他接触。我和娜萨相处融洽,甚至答应她的要求,安排她去北京参加我组织的弦理论会议,并且介绍那里的数学家和物理学家和她相识。在她的文章出来之前,我一直不知她葫芦里卖的是什么药。
有些人对这个差不多一小时长的演讲中的两句话特别感到不快。我说:“在佩雷尔曼的文章中,很多关键的想法只有勾画或简说,而完整的证明却往往付之阙如。最近曹怀东和朱熹平的文章……首次给出庞加莱猜想完整详细的证明。”我想第一句是无可置疑的,佩雷尔曼的想法也许是对的,但他的证明太简洁了,细节都找不到。对第二句话,回想起来,我应该在用词上更为小心。我不怀疑曹、朱二人的论文是正式刊登的“详细说明”。但这文章,还有克莱纳—洛特和摩根—田的文章是否“完整”,似乎尚有可议之处。我从未讲过,也不以为,曹、朱的文章超越了佩雷尔曼的工作——他们的贡献在于补全佩雷尔曼没有写出来的东西。虽然他们的工作是介绍性的,但也很重要。赞扬曹、朱二人把证明严格地写出来之余,我也在激励中国的研究人员要大着胆子,敢于和数学前沿中的重要问题拼搏。
娜萨的文章的架构是惯见的:佩雷尔曼是英雄,为理想奋斗,视名利如粪土。而这高贵灵魂的对手是个卑鄙坏人,一心想事事阻挠他。这角色由在下扮演,奈何我并无机会在这角色扮演的课题上提出异议。
但种种解释不足以令批评者闭嘴,他们说我在编辑过程中走了快捷方式。2006年6月20日于北京,在我组织的弦理论会议中,我以庞加莱猜想为题做了演讲,这次又碰到麻烦。虽然佩雷尔曼曾说“在此文中,我们实现了汉密尔顿计划的一些详情”,他不止一次强调汉密尔顿工作的重要性,后来更坚持说汉密尔顿对庞加莱猜想的贡献和自己一样多。然而,听众中有些人觉得我过于看重汉密尔顿的基础性工作。
文章前面的一幅漫画就足以说明一切:画中我尝试抢去佩雷尔曼颈上的菲尔兹奖。这插画令人啼笑皆非,理由不止一个。首先,我已拿过菲尔兹奖,在过去超过八十年的历史中,从来没有人拿过多于一次奖,而我也肯定不会再次拿奖(其实也不可能,这奖只颁给四十岁以下的人,而我当时已五十多岁)。此外,我亦非往自己脸上贴金,汉密尔顿曾提议在一篇里奇流的关键性论文中把我列为合作者。我在感谢他的好意之余,婉拒了提议。而2006年佩雷尔曼获得菲尔兹奖时,我曾恭贺他并说这是实至名归的,这都可见诸公开的记录。
我接着把文章在学报编委之间传阅,看看有何反应,结果无人反对亦无其他意见,是以依照学报既定的程序,论文便被接受了。必须指出,这学报要求每篇刊登的论文,都必须经过全体编委的同意,这种做法比许多顶尖的数学期刊都来得严格。
正如汉密尔顿同年作证道:“丘不只没有窃取佩雷尔曼的功劳,他还颂扬他的工作,并且和我一样支持他拿菲尔兹奖。”顺便一提,佩雷尔曼并没有出席2006年8月在马德里的颁奖仪式。根据官方的赞词,他的获奖是因“他在几何学和里奇流中的分析和几何结构的革命性洞见”,这里见不到庞加莱猜想一词。事实上,他2002年和2003年的文章中都没有明显地提到这猜想。
曹、朱的论文发表后,我受到猛烈的抨击。人们说文章投稿后六个月便刊登,时间太短,根本不够时间审稿。事实上,我早已有考虑。首先,出版界会将重要的文章及时发表,这是向来的做法。而且,我也问过几位几何流的专家,包括汉密尔顿和佩雷尔曼,邀请他们审稿,而他们都回绝了,不得已之下我才自己当了审稿人。事实上,除了上述两位外,我在这方面的认识比很多人深刻。而且我在哈佛听了朱熹平的讲课超过60小时,又细心看过文稿,并没有发现任何修补不了的问题,我把推荐发表的意见告知其他编委。我没有发现什么明显的错处,但也不能保证它百分百正确,事实上哪个人能保证?你只能说,经过详尽审视后,就我所知,此文正确。
我对《纽约客》文章中的其他论述也甚感不快,很多根本并非事实。他们攻击我在卡拉比猜想和卡拉比—丘流形中多拿了功劳,纵使卡拉比曾亲口说过,是丘给他太多功劳了。
这样重量级的证明我不会只让克雷所审查,因它本身牵涉到金钱。我邀请了朱熹平于2005—2006学年到哈佛访问。他每周讲几个小时,一连讲了半年,把他和曹怀东的文章从头到尾讲了一次。2005年12月,他们两人把三百多页的论文投到我编辑的《亚洲数学学报》,说明会给出“汉密尔顿和佩雷尔曼有关庞加莱猜想完整证明的详细导引”。这篇论文发表于2006年6月,里面给出了不少佩雷尔曼短文中没有的细节。在此一个月前,克莱纳和洛特发表了《佩雷尔曼文章的注记》,而一个月后,摩根和田刚的文章《里奇流和庞加莱猜想》也上线了。
《多重的命运》宣称陈省身先生想在北京主办国际数学家大会,我却在最后关头要把它弄到香港去。这样的说法错误不止一处。从一开始,我就是第一个提议在中国召开国际数学家大会的人。剑桥大学的约翰·科茨从1986—1994年是国际数学联合会执行委员会的成员,他可以肯定我于1988年左右正式向执委会写信,提出在北京召开大会的。科茨说:“我记得很清楚,回信是我草拟的。”
我也觉得“百万奖金问题”这个概念很奇怪。我看不到克雷数学研究所有何资格把庞加莱猜想和其他著名的猜想,包括黎曼猜想,都放在自己的名单上。这些问题流传已久,所有权首先属于它们的提出者,继而属于整个数学界。我们不必由于某个基金会的大笔奖金来研究它;如此有分量的难题,解决它本身就是很大的收获,不需要什么额外的诱惑。我也不觉得一个基金会,无论如何财雄势大,可以圈定哪些才是数学界中最迫切的问题,并把自己的名字附上去。佩雷尔曼或许有相同的看法,对把庞加莱猜想和金钱挂钩不以为然。无论是否如此,当克雷所要给他一百万美元的奖金时,他谢绝了。他对俄罗斯的国际文传电讯社(Interfax)说:这奖不公平,自己对破解猜想的贡献并不比汉密尔顿多。
其实一开始时,陈省身先生就对很多人表示,他对在北京召开数学大会一事不感兴趣,经过我和郑绍远的游说,才勉强同意。郑绍远当时是香港数学学会的副会长,他能证明我从来没有试图把大会移师香港。所有有关的传闻都是凭空捏造出来的,正如科茨所说,“文章说的都是没有根据的小道消息,消息的来源也不明”。
由于庞加莱猜想可说是数学的里程碑,我当然希望审视证明的人愈多愈好。但作为一个“传统的人”,我认为作者应负最大的责任,而不是把责任推到别人身上。数学家不只有责任向别人清楚解释自己的工作,同时本人也得弄明白,因为只有把证明通通付诸笔墨,每一步都写出来,才能够肯定其对错。读者或许仍然记得,1973年我以为推翻了卡拉比猜想的时候,便上了宝贵的一课。结果努力了三年,承受着面子上过不去的难堪,最终证明了这猜想的正确性。
《纽约客》又说,“很多数学家”都担心我搞的阴谋诡计会使整个数学界蒙污,又引用格里菲思的讲话:“权术、权力和操控在我们的圈子内并无立足之地,这些东西损害了整个数学界的良知。”这种离奇的讲法,正出自一个热衷于玩弄手段的数学家。维尔弗里德·施密德是格里菲思的弟子,虽然他一直很感谢其师,但也在一封为我辩护的信中,指出了这个讲法的可笑之处。他写道,“娜萨应当知道格里菲思在数学界的影响力”,他曾当过国际数学联合会的秘书、高等研究院的院长和杜克大学的教务长。他继续说:“和格里菲思不同,丘从来没有谋取具有影响力的行政职务。”
克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute)是个非营利的基金会,会址与哈佛差不多是一街之隔。他们也出资请了两组数学家去检验佩雷尔曼的证明。他们是布鲁斯·克莱纳(Bruce Kleiner)和约翰·洛特(John Lott),以及约翰·摩根(John Morgan)和田刚。克雷所对佩雷尔曼的工作特别有兴趣,事关2000年它把庞加莱猜想放在“百万奖金问题”之中。任何人只要在学报上发表了对其中一个问题的证明,而大家都认为是对的,便可在发表两年后得到奖金一百万美元。
《纽约客》还把我描画成一个恶霸,并引中文报纸中的一篇文章为证,说我曾抨击弟子田刚在“某中国大学几个月内收取了巨额酬劳”。杂志称田刚是我“最出色的学生”,本人对此不敢认同。它又把田刚描写为谨遵古训“尊师重道”的人。但是,我们这一行的人大都知道,我们之间尊师爱徒两者皆不闻久矣。
那就只能靠其他人在佩雷尔曼的论证中,正如《纽约时报》所谓,“把虚点连起来”,然后才能断定它是完整的,还是存在重要的破绽,最后评估它究竟证明了什么。我让理海大学的弟子曹怀东,和曾做我博士后的中山大学的朱熹平,一起仔细地把佩雷尔曼的文章梳理一次,再重新把证明写出来。曹怀东和朱熹平二人堪当此任,他们从1990年代起便研究里奇流,累积了大量的经验,比大部分其他人都适合。
跟田刚失和,主因是当时有大学推行一项我强烈反对的政策,而他却为这政策打开决口,先拔头筹,结果弄得一发不可收拾。根据《科学》杂志2006年的一篇文章所说,某几所中国的大学“设置了百万元教授的职衔,年薪达12.5万美元,在中国这是天文数字”。文章形容我这位弟子站在“席卷中国学术界的风暴的中心,田是这个可争议现象的主要个案,出生于中国而在海外全职工作的研究人员,在其祖国短期工作而获取巨大的报酬”。
佩雷尔曼并没有把这些文章发表于学报。如果他真的这样做,学报的编辑恐怕会要求他在这里或那里写得详细些。我曾几次写信给他,邀请他把工作发表在《微分几何学报》上,这学报从1980年开始就由我主编,但他并没有回复。
12.5万美元,约合近百万元人民币,这是当时中国国内顶级大学教授薪酬的十倍。其实,早在《科学》的文章前,我已知悉田刚在普林斯顿收取薪金的同时,在国内拿着优厚的津贴。其他海外的中国数学家步其后尘,纷纷在国外担任全职的同时,在国内大学收取高额的薪酬。
2003年4月,佩雷尔曼来到了美国,在麻省理工、石溪、普林斯顿和哥伦比亚讨论了他的证明。在他的讲演之旅中,行家只有一个月去消化他的第二篇论文,而第三篇论文则要等到暑期中才出现。到了那时,佩雷尔曼已经回到俄罗斯,并且和同行们失去了联系。他对英国的《星期日邮报》说,他有关庞加莱猜想和几何化猜想的想法,通通都见于这三篇概括性的论文之中。他对记者娜德捷达·罗巴斯托娃(Nadejda Lobastova)说:“都在里面了,所有计算都发表了。能给大家看的,都给出来了。”就我所知,他此后再没就这题目说或写什么。
我是首批公开抨击这种做法的人,反对的理由有好几个。首先,在中国当教授,薪金非常低微,当时研究生的每月津贴也只是大约五十美元而已,教授和研究生的资助都亟须改善。我大声疾呼,特别因为田刚是我门人,必须讲清楚我不会接受这类行为。
在这三篇论文中,佩雷尔曼旨在对几何化猜想给出一个“不拘一格”的普适性证明,而非详细描绘每一细节。他用速记似的手法来勾勒梗概,把很技术性的细节都略去了,也许他觉得不需要提吧。可是,其他人并不一定觉得略掉的细节显而易见,就是这领域的专家也有此叹。虽然佩雷尔曼的证明在起承转合之间难以弄懂,我却明白他的文章对理解三维空间和奇点的结构有极大的贡献,毫无疑问这是重要的工作。
差不多同时,中国也开始了“千人计划”,花大量金钱,吸引西方的知名学者到中国的大学访问,以提高大学的地位。可是有些访问学者把钱放进了口袋,却没有付出时间和精力。事实上,制度经常被滥用了。曾有学者既在美国全职工作,同时又在中国三处任职,本土教授的薪酬却如此低。反观本人从未在主持的数学中心中拿过一分钱,《纽约客》上的这篇号称揭露“庞加莱真相”的文章把我描写成一个坏人,真不知从何说起。
瑟斯顿断言,三维空间可以细分为八类具均态几何的基本形状,而球面是其中一类。几何化猜想的证明说明如何精确地描述这空间是如何构造成的。如此,几何化猜想对球面而言,包含了庞加莱猜想,它对所有三维的空间都做了分类。(在瑟斯顿提出的八类形状中,其中六类猜想早已证明,只有球面类和双曲类尚未解决。)
最后,杂志还指我的事业每况愈下,说“丘上一次比较重要的工作,已是十年以前的了”。这论断把我近年来在弦理论中包括镜像猜想、SYZ猜想和斯特鲁明格方程式等可说是重要的工作,还有在广义相对论和其他领域的努力,都通通抹杀了。可喜的是,这些工作得到同行的首肯。2010年我因在几何分析中,把“偏微分方程、几何和数学物理以崭新的方法共冶一炉”获颁沃尔夫奖(Wolf Prize),也许可以说明,我在行内的地位,并未因四年前《纽约客》的描述而受损。
以幅度如此深广、细节如此复杂的证明而言,这三篇论文加起来可说很短。在论文中,佩雷尔曼证明了汉密尔顿最忌惮的奇点不会在里奇流中产生,这是足以使人惊叹的结果,同时也是佩雷尔曼的一大功绩。汉密尔顿说:“排除了‘雪茄’出现的可能性,是我在奇点的分类中做不出来的地方。”引入了新的技巧来控制奇点,佩雷尔曼为证明瑟斯顿几何化猜想(见第七章)铺平了道路,而庞加莱猜想只是个特殊情况,他的有些结果也适用于高维空间。
纵使如此,这篇十八页长的文章,基本上丑化本人,神化佩雷尔曼,这种做法令人费解。读对自己作品的劣评固然令人难受,但是看到有意丑化自己事业和生平的文章更觉惊讶,尤其是那些评语如此明显地不公,兼且错误连篇。摆在目前的问题,是如何做出最佳的反击。
三篇文章中的第一篇“熵公式”只有三十九页,于2002年11月11日上传,接着于次年3月10日上传的《在三维流形上带割补手术的里奇流》只有二十二页,而同年7月17日,又上传了短短七页对前文的附加版《在某些三维流形上里奇流的有限消亡时间》。
能不能告杂志诽谤,我跟波士顿的一位顶级律师谈过。他觉得这是有胜算的,但会拖很久,起码要拖一年以上;就算最后赢了,也不能肯定能得到什么。虽然名誉受损令我不快,但最后决定恢复名誉的方法不在法庭,而在课堂、书房之中。我应当把此事抛诸脑后,法律上的缠斗只会适得其反。
人们有时称佩雷尔曼为隐士。他于1995年离开伯克利,回到圣彼得堡的家。他是如此低调,大部分人都不知他在干什么,是否还在做数学。
这时又想到了父亲提过的《礼记》上的故事,它发生在公元前五百年,是我有记忆以来最早听过的故事。有个名叫黔敖的富人在路上派发食物赈济饥民,他对其中一人呼喝道:“嗟!来食。”那人宁可挨饿也不要他的施舍。黔敖后来找到他,跟他赔罪,但那人依然拒绝救济,不久便饿死了。
据佩雷尔曼所言,文章给出了“几何化猜想证明的简介”。这消息使我,恐怕连同整个数学界,都大吃一惊,我对佩雷尔曼在研究这题目一无所知。几何化猜想比庞加莱猜想更为广泛,把后者包进去了。他之前让人记得的工作属于几何中完全不同的领域。事实上,他曾把他较为人知的一篇论文投寄《微分几何学报》,而我当时正是编辑。我们沟通得很好,佩雷尔曼紧密依从审稿员的意见,补充了证明的详情。
这个故事的教训,据我的了解,是人必须活得有尊严,同时也不可侮慢别人。这一课我学得很好,五十多年后还记得很清楚。小时候对这故事不大理解,现在回想起来才惊觉它对我的影响,在人生不同的时刻,我都会想起这故事。
1999年,我任哥伦比亚大学的艾伦贝格访问教授,有更多时间与汉密尔顿一起工作。其后,哥伦比亚大学想聘请我,但我与妻子商量后,最终还是婉拒了。汉密尔顿和我仍紧密联系,他的工作步步推进,我有时也给予意见,似乎快到尾声了。2002年11月12日,在没有任何征兆的情况下,我收到格里沙·佩雷尔曼的电邮,我跟佩雷尔曼没有什么交往。汉密尔顿同时也收到类似甚至相同的电邮,其上写道:“附上论文,恳请指教。”文章在一天前上传到“数学档案”网站上,题为《里奇流中的熵公式及其几何应用》。
这当然包括娜萨文章里面的负评。但和《礼记》中这个饥民不一样,他受到冒犯却不反抗,而我则不会受损而退缩,我不会受到“全美最优秀的杂志”抹黑后默然不语。保护自己是人的天性,我不会让别人动我分毫的。
1996年,在哈佛数学系一次系务会中,我跟同事说汉密尔顿正向庞加莱猜想和几何化猜想进军,他到哈佛来会对此有帮助,而且对大学也有利。于是从1997年秋开始,汉密尔顿来哈佛当了一年的访问教授。我们定时交流,其后不断交换想法。他暑假会跑到夏威夷去,我也去了几趟。我们不谈里奇流时,他就跑到太平洋冲浪,享受洋流。而我则在海滩休息,当然没那么激烈危险啦。
虽说是令人生厌的一幕,但人生曲折多艰,更苦的日子我也尝过了。父亲的去世是迄今我尝过最痛苦的经历,和它相比,这次不过是小小的刺痛罢了。受到攻击后立时的反应是自卫,但最终,我意识到最佳的对策乃是忘记它,继续前进。
在里奇流下,凹凸不平的三维流形,其曲率会变得更光滑和更平均。数学家忧虑的是情况会不会出错,尤其是流形会否拉长出现“奇点”,其中连接两圆端的颈部变细而趋于折断。
人生最大的荣耀,乃是屡败屡战,尤其是受到阴险的招数攻击之后。稍堪告慰的是2006年10月在《纽约时报》刊登的,以我为主角、题为《数学皇帝》的文章,里面洋溢着颂扬之词。它比《纽约客》的文章迟了两个月,这并非偶然。娜萨曾跟我说,她听说《纽约时报》在访问我,因此她要赶快写,好抢在时报前面,引人注目。
《纽约时报》的文章写得非常客气,我想它给出了对无论是本人还是本人工作比较全面的写照。部分的原因或在于文章的作者丹尼斯·奥弗比(Dennis Overbye)花了不少时间访问我,断断续续地做了半年。如前面贬我的文章一样,这篇文章的内容我从未过问,并未参以己见,或提出任何删改。对我而言,更重要的是自己能掌握的,只有不断向前,才能完成事业上定下的目标。因此,那些有关本人的文章,不管是褒是贬,也不用想太多。希望能集中精力对付数学,进行研究,这才是我之所乐,我之所爱。精神受到压力的日子,我每以工作为寄托,数学从来没有让我失望。
但从另一方面看,或可证明这些难缠的“雪茄”根本不会出现,那么问题便会迎刃而解了。事实上,1996年时汉密尔顿已证明,假若“雪茄”不会生成,而且一般的割补方法又适用时,庞加莱猜想的正确性便成立了。我向他提议,处理这些奇点,证明它们不存在的方法,或在于早年我和李伟光研究热方程时,发展出来的一条有力的不等式。他同意了我的见解,并立即着手利用此法。多年后,在我的协助下,他把李—丘不等式推广到张量的情形,成为包含曲率张量的不等式,足以用于庞加莱猜想的证明。
举例来说,我把注意力放在广义相对论上。有一个问题我想了几十年,它是由早期有关正质量猜想(和孙理察及其他人合作)引出来的。这问题源于直到今天,人们还搞不懂如何在爱因斯坦的理论中定义“局部质量”。在封闭的系统中,我们只能定义在差不多无限远处,无限远的质量,我和理察早已证明了这质量必须为正,不然整个系统会不稳定。但我们亦希望能描述系统在附近周围,这便涉及所谓“拟局部质量”的概念。例如,当两个黑洞相互作用时,从远处去看,如何定义其中一个黑洞的质量,而非两者合起来的总质量呢?
但有一种奇点即像雪茄一般的凸状物,却不能用割补的方法除去。在里奇流流动的过程中,曲率一般而言在平均化,但在这些突触中却会不受控制地变大。汉密尔顿指出,所谓“雪茄”的出现,乃是证明庞加莱猜想最大的障碍。它们的出现,意味着利用里奇流不可能达至均匀态的几何,即空间等价于球面。
这类问题当然不仅仅限于黑洞,在空间给出一个闭合的二维曲面,除了要求其质量必须为正时,我们还能进一步对它说什么。2003年,我的学生刘秋菊(现任哥伦比亚大学教授)和我在一篇论文中给出了一个拟局部质量的定义,并进一步证明,它在所有情况下都取正值(除了在某一显然的情况下,质量可以为零)。我在剑桥以此为题,向霍金和彭罗斯以及加里·吉本斯等物理学家说明了我们的定义。霍、彭二人各有自己对拟局部质量的定义,虽然他们没有说我们找到了正确的定义,但他们也没有反对。这些学者不是内敛的人,如果我的推演中有任何弱点,他们肯定不会让我好过。
在此研究中牵涉到的数学是复杂的微分方程,那是十分麻烦的,熟悉这方面的专家十分少。不过,其中的策略可以用比较直接的讲法来说明:先取一颇为圆的物体,将之放在里奇流内,看看在将曲率平均化的过程中,可否变成球面。而对一般的三维曲面,尤其是非常不规则的,在这个平均化的过程中或会出现钉状物即奇点,它们大部分都可以被拿掉,即利用如约翰·米尔诺引入的割补手术法等方法除去。只要这些步骤能在有限次内完成,就是行之有效的做法。
个人以为,我们的结果是重要的。我们找到了量度空间中任一区域的质量和能量的方法,这是以前做不到的,但有些地方仍需改进。我和弟子王慕道(也是哥大的教授)从2006年至今在一系列文章中得到不少成果,我相信这是迄今关于拟局部质量最好的定义,它对更广泛更自然的一大类空间都有效。我们的工作也增进了对角动量和质心的理解,这两个概念在广义相对论中,都尚未有明确的定义。
汉密尔顿是在1980年代初着手从事这个计划的。我和他定期见面,讨论在研究当中迫切要解决的问题,提供意见,并指出相关的结果,包括我和李伟光早前完成的工作。总的来说,我会尽全力支持和激励他。我亦送了好几个学生去跟他学习和合作,希望能对这个以十年为期的大计有所贡献。打从1980年代起,我就跟汉密尔顿说,里奇流可能是破解庞加莱猜想的关键。也许不是只有我才看出这关系,又或者这个见解已再明显不过,但朗声说出来,汉密尔顿还是大受鼓舞。我指出,在流动过程中可能出现奇点,了解它们的数目和形状,是研究里奇流最大的挑战。
2008年,美国金融危机波及整个银行体系。正值此风雨飘摇之际,我出任哈佛数学系的系主任。当时哈佛的储备,在股票市场已经亏了110亿,并还有可能再亏几十亿。大家都忧虑,大学要完蛋了,每个系的预算都要大幅削减,第一步是每个部门先削减二成。我跟理学院院长解释,说其实数学系没有什么闲钱,如再削减下去必将危及本科教学,而本科教学一直是哈佛最重视的教育使命。唯一可削减的只是同事加起来三万元的电话费。我特意这样说,是想表现出并非一成不变的态度。院长不久也发现这里省不了多少钱,最后就把预算保持在原来已经颇为节俭的水平了。
里奇流是个类似的平均化过程。有别于使热均匀地分布,它把在几何空间中凹凸状物和不规则的东西都变得光滑。曲率大的区域的曲率逐渐变小,最后整体的曲率就变得均匀如球面了,而球面就是曲率为正常数的曲面。不过,有些凸状物比较顽固,不容易被熨平。恰恰相反,会出现尖刺和折叠,数学上称之为“奇点”,需要特殊的处理,我们会在下面讨论。
另一件要办的事便是聘请年轻的同事。过去每年我们都会聘三至四位助理教授,但现在大家都在问今年还能不能聘人。我从西蒙斯基金、哈佛数学之友(由法国数学家伯纳德·圣—多纳特牵头,他是芒福德的学生)和其他人士那里募到充足的经费,后者包括慈善家威廉·兰道夫·赫斯特三世(William Randolph HearstⅢ),他1972年毕业于哈佛数学系本科。有了这些资源,那年我们请了五位新人,比惯例还多了一位。2009年,我们聘了三位知名的教授:很有前途的数论专家马克·基辛(Mark Kisin),在代数几何、范畴理论等领域才能出众的雅各布·卢里(Jacob Lurie),还有在朗兰兹纲领、数论、代数几何、表示论等领域的明日之星索菲·莫雷尔(Sophie Morel)。本人尤其以邀得莫雷尔加盟为荣,她是哈佛数学系有史以来第一位女性终身教授。(可惜三年后她到普林斯顿去了。)
里奇流(见第七章)差不多是汉密尔顿一手一脚发展出来的。这种方法基于微分方程而非标准的拓扑方法,是热方程的一种几何形式。比如你用火枪喷射一块金属板,板上的喷射点很快就会变得很热。接着热便会逐渐从那小地方扩散开去,直到整块板达到热平衡,板上每点的温度都一样。
这些举措恢复了数学系的士气,安抚了因财政紧张而惶惶的人心。我又筹了些钱,让系内同事、本科生、研究生和博士后每两星期能在系办四楼的休憩区共进午餐。这样一来,全系的人都能交流,互相认识,活动空前成功。但另一做法在振奋精神、提高效率之余,引起了更多的关注。我是不喝咖啡的,但有人在系主任的办公室添置了一部质优价昂的咖啡机。办公室的助理们都被排在门外等斟咖啡的人弄得不胜其烦,最后只好把咖啡机搬到休憩区去,那么人人都能用了。这大概是哈佛数学系差不多三百年来,系主任最受拥戴的德政之一。(1630年代学生曾因啤酒短缺而暴动,因咖啡短缺而暴动者则闻所未闻。)
我只是扮演了辅助性的角色。理查德·汉密尔顿声言佩雷尔曼“因里奇流获奖(菲尔兹奖),然而对建立整个里奇流的计划而言,没有人像丘的贡献那么大”。这话太客气了。没有人比汉密尔顿有更大的贡献才对。是他创造了整个方法,打下了基础,佩雷尔曼据此前进一步。我的贡献只是帮助汉密尔顿发展这个方法,因为打从一开始,我便看到它辉煌的前景。
哈佛的系主任是在资深教授之间轮替的。虽然开始时我对就任此职的兴趣不大,但从别人那里听回来,口碑还是不错的。事实上,院长对我的工作很满意。三年正常任期完成后,他希望我再做一任,但我选择遵照传统,三年就够了。于是院长用他的经费开了一个隆重的餐会,感谢我在任时对数学系的贡献。我受宠若惊,相信这是哈佛数学系系主任从来没有得到过的荣誉。
(c)这回路也不能缩成一点,除非把它切开,即改变了它的拓扑。
2008年或2009年初,北京清华大学的校长顾秉林到剑桥我家做客,邀请我到清华办一个数学中心。1950年前,清华是中国基础研究最重要的大学之一。毛主席决定把大学的重点放在工程、工业应用和技术发展上,于是将大批数学家搬到科学院、北京大学及其他地方去。清华的理科和数学受到影响,直至近年始复兴。应用数学专业从1970年代引入,而纯粹数学也于1990年代恢复了。
(b)围绕在车胎外圈的回路,由于中间的洞,并不能缩成一点。
其实,要在清华建立中心,数年之前,他们已跟我谈过一次。清华大学王大中校长曾在2000年前后邀请我在大学办一个中心,可是当时没法筹到足够的资金,我只能告诉他没钱事情不好办,后来也就不了了之。
(a)置于车胎/甜甜圈上三个不同的回路(闭曲线)。只有右面的小回路能在车胎上缩成一点,所以车胎是“不连通”的。
弟子刘克峰说,王也找过陈先生做同样的事,但陈先生说数学系应该拥有自己的图书馆,事情便又没有下文了。
数年后,顾秉林继任校长,陈希作为党委书记,情况变了。由陈希书记拍板,顾校长来到我在波士顿的家,请我帮忙。交谈后,很快就能感觉到他真心希望把中心建成,学校高层决心使清华建成一流的大学。顾是物理学家,他保证了提供兴建中心所需的资金,我们都同意新成立的中心会成为提升整间大学数学研究实力的催化剂,一旦传播开去,影响或会遍及全国。不久之后我到了北京,陈希书记做出了同样的保证,这次我决定放手一搏了。
我对这猜想早有兴趣,会时不时想一下。上面说过,1976年结婚前,我和友云、她父母驾车横跨美国时便如此。但我没有埋首于破解它,原因是从来没有破解猜想的灵感。庞加莱曾形容灵感如“漫漫长夜中的一霎电光,这一霎就是一切”。可是对这问题,在理查德·汉密尔顿创造里奇流之前,我期待的“一霎”始终没有到访过。但是它终于来了,照耀了汉密尔顿宏伟的思维,也照耀了我带领的团队。二十年的辛苦工作,完成了里奇流的奠基工作。然后那更强的电光再次照耀在佩雷尔曼身上,几何分析的力量再次震撼科学界!
前一章已提过,迈克尔·阿提耶曾通知我,杨振宁要让他在清华主理一个数学中心。很明显,杨先生并没将此事告知顾校长或陈书记。我知道后,就跟清华说:“杨先生要托阿提耶办所,那没有问题,可是你们不应该同时找两个人办所啊。”事情很快便明朗了,阿提耶告诉我,自始至终他对办所的兴趣不大。
是以三维的庞加莱猜想,是众多失败证明的葬身之地,即如大西洋的百慕大三角,大量飞机和船只在那里长眠。数学家约翰·斯托林斯(John Stallings)曾于1960年证明了维数大于六时的猜想。1966年,他在一篇题为《如何不去证明庞加莱猜想》的文章中,洋洋洒洒地描述了他证明三维猜想时遭遇的种种挫折。
首要之务是招揽人才,在这件事上,我和杨先生又有不同意见。他的做法和我迥异,他倾向以重金聘请名家来做短期的访问,我则以为此法从来成效不彰,而且也不利于中国数学的健康发展。
这个问题的二维情况,早在庞加莱提出猜想前就解决了。高维的情况亦分别在不同的时期解决了。1962年斯蒂芬·斯梅尔对维数大于四的情况证明了猜想。1982年迈克尔·弗里德曼对四维的情况给出了证明,文章刊登在《微分几何学报》(见第七章)。然而,正如庞加莱所料,三维的情况最为棘手,困难在于高维空间能采用的方法并不适用于三维,三维空间相对局促,难以回旋。
于是跟清华校方再接触,说虽然我不介意跟中国科学院、北京大学和中国其他学术机构竞争,但这中心不必跟清华本校较量。大学聘请数学人才,应该用一致的标准。由于数学是在下的本行,这领域招人的事务,应该由在下统筹。他们同意了,不久之后我便找到一批不错的人作为班底。
球面是个二维曲面,它是“单连通”的。这意味着球面上的闭曲线皆可无障碍地在其上缩成一点。
几年之后,教育部通知清华大学将这个中心升级为教育部的中心,并且更名为丘成桐数学科学中心。到了2014年底,那里的数学专家,全职和兼职的加起来,大约有四十位。我深信,中心将会训练出一批中国的数学专才,进行高水平的研究,使西方做研究的方式在东方落地生根。
为免读者以为我把心血都灌注在东方,必须指出我亦牵头于2014年在哈佛创建了数理科学及应用中心(CMSA)。哈佛大学通过我的搭线,向中国的恒大集团筹得两亿美元,用以创建三个中心:CMSA、哈佛绿色建筑和城市中心、属于哈佛医学院的恒大免疫性疾病研究中心。有些同事半开玩笑地说,丘筹款比研究几何更在行。当然,能够为有意义的事情略尽绵力,创建各式各样的数学所和推广有关活动,诚为乐事。但掌声之余,谢幕之后,我还是希望以数学的成就,而非以成功的筹款者之名传世。
二维的曲面早在19世纪已为人熟知。庞加莱猜想与三维球面有关,三维球面即是四维球的表面,对一般人来说有点难以想象。正如二维球面由在三维空间中所有和原点距离等于r的点所组成,这些点的坐标(x,y,z)满足方程式x2+y2+z2=r2;类似地,三维球面由所有四维空间中和原点距离等于r的点所组成,这些点的坐标(x,y,z,w)满足方程式x2+y2+z2+w2=r2。可以预见,通过研究这猜想,我们会对三维空间有更深刻的认识。不过,庞加莱早知这猜想的证明并不容易。他说:“这问题会领着我们走得很远。”的确,为了求解这个猜想,人们走过了漫漫长路。
你如特别要问为何办CMSA,我的动机有几个。首先,就纯数研究而言,哈佛数学系可说是首屈一指的了,但它太“纯粹”了。系里的人对应用有强烈的反感,这种态度稳如大山,很难动摇。系里要请应用数学的人,我尝试过,确实很难。评估罗致对象时需要不同的准则,但负责聘请者只会依一般的标准去办。著名数学家芒福德在1996年到布朗大学去了,原因是他想要多做点应用的东西,但在哈佛得不到支持。
再次提醒读者,我们讨论的是甜甜圈的表面或它的外层,不包括它可口的内部。球面和甜甜圈这两个形状,本质上的区别在于有洞或没有洞。球面无洞而甜甜圈却有,这意味着球面不能在不弄破它的状态下变成甜甜圈,反之亦然。
活在现代社会,数学在很多地方日益重要,其中包括生物、化学、经济、工程,当然还有物理,我们不能再对应用数学坐视不理。以前的很多大数学家,如欧拉、高斯、黎曼、庞加莱和希尔伯特等,他们都曾涉足应用领域。有鉴于此,我向外筹募捐款,开拓应用数学的职位。哈佛的院长和教务长都热烈支持这想法,他们十分期望校内有更多跨科目的研究。具体而言,CMSA能填补数学系空白的领域,加上系内同事迈克尔·霍普金斯(Michael Hopkins)、克利福德·陶布斯、姚鸿泽,还有应用数学家和物理学家迈克尔·布雷内(Michael Brenner)、统计学家刘军等的帮助,我们已经有了一个很好的开始。
要了解庞加莱心中的想法,可以先考虑二维球面,它便是地球仪的表面(内部不计)。你可以把橡皮圈拉长,沿赤道勒上去,然后把它逐渐向南极或北极推动。这时,橡皮圈就会毫不费力地缩成一点。另一方面,考虑带洞的甜甜圈,把橡皮圈缠绕在圈的中部——除非橡皮圈或甜甜圈断开了,否则它是不能缩成一点的。绕着甜甜圈外侧或内侧的橡皮圈也不能缩成一点,除非把甜甜圈挤压成一团,但那时它就不再是甜甜圈了。
诚然,本人绝大部分工作都是和“纯粹”的数学有关的,但在偶然的场合中也会钻研一些“不纯粹”的数学。早在1990年代初期,我和加州大学圣迭戈的金芳蓉一起在图论方面做了些工作,图的研究对各式各样的物理、生物和社会系统中的演化过程很有用。另外,我也跟弟弟成栋在非线性控制论中发表过一些论文,控制论是应用数学的分支,在工业上有广泛的应用。当芒福德离开哈佛到布朗大学时,我接收了他在计算机方面的学生顾险峰。我们和其他人把我们从前在做几何分析时用到的工具,如保角几何和蒙日—安培方程等,应用到计算机图像的研究上去,从而得到医学影像包括脑影像好些有趣的新成果。
这个在过去百年间吸引了这么多目光,直至今天还让人议论纷纷的猜想究竟是怎样的?第五章中已说过,庞加莱断言一个紧的空间在拓扑上等同于球面的条件是,每条在空间上的闭曲线(回路)能连续地缩成一点,即是说,在空间里的回路能在无障碍的状态下缩成一点。很早以前,我已为这猜想之简短而啧啧称奇。就是这么简单的一句话,使世人忙了一个世纪。庞加莱猜想使人神往,部分原因就在这里。(请记住上述的猜想只适用于三维的空间,在n维空间中。收缩的回路要用所有维数小于n的收缩球面代替。)
这方面的工作也惬意,它让我换换新鲜的口味。我对在哈佛开始了应用和跨科目的数学研究亦很高兴。但这些都只是旁枝,纯粹数学一直是,在可见的将来也是我主要追求的目标和至爱。纵使有时会扩展一些,但我始终认为,数学中最美好的和最精要的内容在于它的纯粹和基本。十多年来,我花了不少工夫投入弦理论的一个项目之中,这项目是1990年代中期开始的。
法国数学大师亨利·庞加莱学识渊博,对数学的众多领域都做出过重要贡献,这些领域包括天体力学、特殊相对论和其他物理分支。1904年,他提出一个和上面类似的问题,用词比斯坦的诗句来得专业,是以成熟的数学猜想的形式表达出来的。毫无疑问,这是最为世人熟知的一个猜想。它屹立了差不多一个世纪,抵挡过不少破解的冲击,直至俄国数学家格里沙·佩雷尔曼(Grisha Perelman)的一系列文章在互联网上毫无先兆地出现时,首个可信的证明才告面世,这是2002年底到2003年中的事。
镜像对称指出了弦理论和枚举几何的密切关系。我期望弦理论跟数论也能对上,有理由相信这将有大用。我的信心部分来自卡拉比—丘流形乃是弦理论的核心(见第八章),一维的卡拉比—丘流形即“椭圆曲线”理论是数学中极深奥的一支,和数论有莫大关系。卡拉比—丘流形是椭圆曲线的高维版本,对这些流形透彻的认识将会把物理(以弦理论的形式)带进数论,反之亦然。所以说这会是条康庄大道,并不太牵强。
“玫瑰是玫瑰,就是玫瑰”,这是格特鲁德·斯坦(Gertrude Stein)创作于1913年的著名诗句。但对球面能说相同的话吗?比如说拿一个泄了点气的足球,从一面按压它,或拉挤它,踩上去,跳上去,扭它,揍它或做任何你想到的动作,只要不弄穿孔或撕开它,球面在拓扑的意义下都是一个球面吗?
扎斯诺和我在这方面开了个头。在1996年的一篇论文中,我们确定了在K3流形上有理曲线(rational curves)的数目。K3流形是二维的卡拉比—丘空间,即复二维的椭圆曲线。上述的数目是个整数,和η函数有关。η函数是数论中重要的概念,由狄德金于1877年引入。可惜我们的分析只适用于一小类即亏格为0的曲线,笼统地说,即是没有洞的曲线(或曲面)。哈佛物理学家瓦法和另外三人对如何在三维卡拉比—丘空间上确定高亏格曲线的数目做出重要贡献。在他们工作的基础上,2004年我和当时的博士后山口智对枚举函数的结构给出新的看法。直到今天,我还跟其他人在一起思考这个项目,我相信枚举函数有朝一日会成为η函数的某种推广。这类联系愈多,弦理论和数论的关系就愈紧密,为弦理论在数论中的各种应用打下了基础。
——《庞加莱之梦》选段,2006年
在另一项探讨弦理论和数论关系的工作中,连文豪和我证明了在五次的卡拉比—丘空间中,当那些定义方程的次数不是5的倍数时,它们对应的曲线的数目必定是125的倍数。这发现回答了赫伯特·克莱门斯(Herbert Clemens)在代数几何上的一个问题。过去十年间,我们也利用镜像对称启发出来的想法,尝试计算某些积分的周期,这些周期和某个可追遡至欧拉的问题有关,问题迄今未完全解决。
空间展出了她的风华——素朴而安宁。
我深信弦理论会给数论开辟新的途径,目前看见的只是皮毛的工作而已。关键的发展也许由别人而非本人得到,但也无所谓,能够吸引人向这个方向走,我已心满意足了。
在那茫茫的真理深渊,
前面已经说过,空闲的时候,例如在驾车时或在牙医诊所里,我喜欢有一篮子不同的问题供思考或浮想联翩。目前放在篮子上的几件东西中,就有上面讲过,来自弦理论的斯特鲁明格方程。人们对非凯勒流形所知不多,这些方程会对此很有帮助。数学上最大的进步,并不在于解决难题,因为这样只会使某些研究领域完结,而在于开辟了全新的、各式各样的问题以供探索。
终究由她来启示。
庞加莱猜想却是个不愿踊跃去碰的题目,一旦把围绕着这个猜想的许多争议抛诸脑后,实在高兴得很。但有时仍忍不住想到它,因为还抱着一丝丝的怀疑,如果大声说出来,又会招惹麻烦了。或者你可以说这是妖言惑众,但我真的不肯定证明已完全明确。前面已讲过多次,我相信佩雷尔曼对三维空间奇点的形成和结构有杰出的贡献,完全有资格得到菲尔兹奖(只是他不接受)。要知道,先是庞加莱指出了方向,然后汉密尔顿艰辛地打下了基础,最后佩雷尔曼带领大家走得更远。这样看来,无可置疑地,佩雷尔曼立了大功,我也想知道他在里奇流中发展出来的技巧可以走多远。而我亦不能忘记另一种方法,即利用多年前我和米克斯、理察、西蒙等发展出来的极小曲面技巧,能否把问题廓清。
造物的奥秘,造物的大能,
2003年,佩雷尔曼告诉《科学》的记者达娜·麦肯齐(Dana Mackenzie)说:在有关专家检视这些文章完毕之前,便向公众宣布几何化猜想和庞加莱猜想都得到了证明,可说是言之过早。现今说证明为正确的所谓专家,大部分都不是这个领域的人,而佩雷尔曼自己也从数学界隐退,可说是巨大的损失。问题是,里奇流的专家并不多,佩雷尔曼的证明结尾处最为晦涩,至今我尚未碰见过一个专家说完全了解。
赢得她那嫣然一笑的深情。
2006年左右,一位对这题目熟悉的数学家访问哈佛,他来到我的办公室,责难我对佩雷尔曼的证明说三道四。但在我的诘问之下,他也承认不能完全掌握证明的后半部。我不是要驳倒他,只不过他承认了就归了类。事实上,我不知道有谁,包括汉密尔顿在内,能完全懂得那证明,自忖也只能归在那一类。据我所知,没有人利用佩雷尔曼在文章后半部引入的技巧,成功地解决过其他有意思的题目。这事实意味着其他数学学者并不完全掌握这工作,以及其中的方法。
都注在你凌天的一击,
汉密尔顿七十多岁了,他告诉我,证明庞加莱猜想仍然是他的梦想。这可不是说佩雷尔曼错了。作为一个真正独立的人,汉密尔顿不会沿着别人的足迹走,也不会替别人的论文“以线把点连起来”。过去三十五年的心血已倾注于此,他只想凭一己之力去完成它。
两纪的辛劳,廿载的研讨,
我总觉得问题并非绝不含糊地解决了,或者要留待涵盖异常广泛的定理出现后,才能扫清这些迷雾。对这问题提出异议,在现实上是非常危险的做法。但为了问题的本身,为了数学上的真理,我还是希望知悉我们走到了哪里。如果这样会遭鄙视,就由他吧。半个世纪前我选择了数学这条道路,说到底还是数学比较重要,别人的看法没这么要紧。