乌龟接受a和b的前提，但是拒绝接受它们能够证实结论。这使阿喀琉斯加进一个假设的建议。
z）这个三角形的二条边相等。
a）两件东西都等于第三件东西，则这三件东西都相等。
b）这个三角形的二条边等于MN。
b）这个三角形的二条边等于MN。
a）两件东西都等于第三件东西，则这三件东西相同。
c）若a和b是对的，z也是对的。
洛采在原因和结果之间加入了芝诺的阶段性深渊；布拉德利在主语和谓语之间也这样做了，虽然不是在主语和表语之间；刘易斯·卡罗尔（《思想》，第二百七十八页）在三段论法的第二个前提和结论之间也这样做了。讲述了一段无限的对话，对话者是阿喀琉斯和乌龟。在到达他们无休止奔跑的结束点时，两位奔跑者平静地谈论着几何学。研究这个清楚的推论：
z）这个三角形的二条边相等。
相似，但令人惊愕的是F.H.布拉德利。这位善于思考的人（《现象和实在》，一八九七年，第十九至三十四页）不仅反对因果关系，他还拒绝所有的关系。他问道，某种关系是否同它们的项有关。他被告知是的并推断出这是接受另外两个关系的存在条件，然后还存在其他两个关系。在部分小于整体这个公理中，他没有觉察到两个项和小于这层关系；他觉察到了三个（部分，小于，整体），它们的联系意味着还有其他两个关系，这样直至无穷。在“胡安是要死的”这个判断中，他觉察到的是三个我们最终不能把它们联系起来的不会混淆的概念（第三个是联系动词）。他把所有的概念都变成了没有联系的物体，困难之极的物体。批驳它是不现实的。
经简单阐明之后，乌龟接受a、b和c是对的，但不接受z也是对的。阿喀琉斯怒气冲冲地说：
赫尔曼·洛采[6]指出，regressus（回返）不能理解事物A的变化会使事物B产生变化。他的理由是，如果A和B都是独立的，假设A对B的影响就是假设第三个成分C，那么C要使B产生变化必须要有第四个成分D，而D没有E也不行，E没有F也不行……为了避免争吵的增加，他提出的解决方案是在世界上只有一个物体：一个无限的和绝对的实体，它可以和斯宾诺莎的上帝相比。[7]
d）若a、b和c是对的，z也是对的。
至此，无限减退用于否定；圣托马斯·阿奎那利用它来证明上帝的存在（《神学大全》，第一部第二章第三节）。他认为，在宇宙里没有东西是没有有效的产生原因的，而这个原因当然是前面另一个原因的结果。世界是由原因连接成的一条无限的锁链，每个原因都是一个结果。每个状态都来自前一个状态并决定下一个状态，但是，总的系列可能不存在，因为组成它的项是有条件的，也就是说是不定的。但是世界存在着；在那些项里我们能推断一个没有节制的首要原因，它就是神性。这就是宇宙论的证实；亚里士多德和柏拉图已经提到过它；莱布尼茨重新发现了它。
卡罗尔认为，希腊人的悖论包含着正在无限缩小的距离，而他提出的方案中，距离在扩大。
我杂乱无章的笔记中记下的芝诺的下一个变形是怀疑者阿格里帕[5]。他否认可以证实什么，因为任何证实都先需要另一项证实。（《虚假姿态》，第一卷第一百六十六页）第六感觉同样也认为定义是空洞的，因为需要定义所使用的每一个词，然后再对定义下定义（《虚假姿态》，第二卷第二十页）。一千六百年之后，拜伦在《唐璜》的题签中，引用了柯勒律治的一句诗：我希望他对他的解释作出解释。
最后一个例子，也许是最精彩的，但也是同芝诺的区别最小的。威廉·詹姆斯（《哲学中的一些问题》，一九一一，第一百八十二页）拒绝要用十四分钟，因为在这之前先要用去七分钟，七分钟之前，先要用去三分半钟，在三分半钟之前，先要用去分钟，这样直到终点，通过时间微不足道的迷宫，直到看不见的终点。
其实，不需有两个个体，只要有一个个体和一个类别就可以确定亚里士多德所揭示的第三人了。伊利亚的芝诺采用无限减退来反对运动和数字；他的反驳者则采用无限减退来反对一般方式。[4]
笛卡儿、霍布斯、莱布尼茨、密尔、勒努维埃[8]、格奥尔格·康托尔、贡珀茨、罗素和柏格森都对乌龟悖论提出过解释——不总是解释不清和没有价值的解释（我已经介绍过一些了）。读者看到运用这些解释的也很多。历史上的解释没有耗尽这个悖论：令人目眩的无限减退也许能运用于所有的题目。运用于美学：那行诗由于那个原因而感动了我们，那个原因又是由于另一个原因……用于认识问题：认识是识别，但是为了识别必须先认识，但认识是识别……如何研究这个辩证法？这是研究的正确方法还是一个坏习惯？
a+b+c+d+e=f……
单词的协调序列（其他的不是哲学）可以非常像宇宙，这样想是冒险的。在这些杰出的协调序列中，某一个——甚至是无限小的——不是比其他序列更相像的，这样想也是冒险的。我研究了几个有某种可信程度的序列，我大胆地认为：只有在叔本华提出的序列中我看到了宇宙的某个特点。根据他的理论，世界是意志的表象。艺术——永远——永远需要可见的非现实。我只要举一个例子就可以了：戏剧中人物隐喻的话语、押韵的话语或者是精心编造的巧合的话语……让我们承认一切唯心主义者所承认的东西：世界具有引起幻觉的特点。让我们来做一件任何唯心主义者都没有做过的事：我们来寻找证实这个特点的非现实。我认为，我们可以在康德的二律背反和芝诺的辩证法中找到它们。
a+b+c+d=e
“最大的巫师就是那位把自己的幻觉作为自主的表现形式从而使自己着迷的巫师（诺瓦利斯的话值得铭记）。我们不正是这种情况吗？”我认为正是这样。我们（作用在我们身上的不可分的神）梦想世界。我们把世界梦想成在空间中是坚实的、神秘的、无处不在的和在时间中是不可改变的；但是我们承认它的结构上有细小的和永恒的没有道理的间隙，所以知道它是假的。
a+b+c=d
[1] 希腊岛屿，位于爱琴海。
但根据亚里士多德，同样也有：
[2] Nicholas of Cusa（1401—1464），德国神学家。
a+b=c
[3] 一个世纪之后，中国诡辩家惠子说，一根木棍从中间折断，把另一半再从中间折断，每天这样折，永远也不会把木棍折完。（翟理思：《庄子》，一八八九年，第四百五十三页）——原注
亚里士多德第一次向我们提及这些悖论并第一个反驳了它们。他的反驳简短得具有讽刺味道，但是他的反驳却激发了他反柏拉图理论的著名的第三人论据。这个理论想证明：两个具有相同属性的个体（例如两个人）只是一个永恒典型的暂时性外表。亚里士多德发问，众多的人和大写的人——即暂时性的人和永恒典型——是否具有相同的属性。很明显，是具有相同属性的，具有人类普遍的属性。亚里士多德认为，在这种情况下，应该假设一个可以包容他们的另一个典型，然后再有第四个……帕特里西奥·德·阿斯卡拉特在翻译《形而上学》中的一个注解时，把下面的表述归于亚里士多德的学生：“若同时肯定的许多属性是另一个个体，不同于被肯定的属性（这正是柏拉图派想要达到的），那么就必须有第三人。这个名称适用于别的人和思想。所以，第三人不同于个别的人和思想。同时还有第四人，他同第三人和个别的人和思想也不同；然后又有第五人，直至无限。”我们假设有a和b两个个体组成c类。则：
[4] 柏拉图的《巴门尼德篇》无可否认地受到芝诺的影响，其中提出一个十分相似的论点，说明“一”实际就是“多”。如果有“一”，就兼有“存在”；因而包含了两部分，即“存在”和“一”，但是每一部分都是“一”，并且由于包含其他两部分，从而也包含了再其他的两部分，以此类推，直至无限。罗素（《数理哲学导论》，一九一九年，第一百三十八页）用算术级数替代了柏拉图的几何级数。他认为如果有“一”，就兼有“存在”；但“存在”和“一”有区别，便有了“二”；“存在”和“二”也有区别，便有了“三”，等等。庄子（阿瑟·韦利《古代中国的三种思想方式》，第二十五页）使用了同样的无穷无尽的regressus（回返）来驳斥宣称“万物”（宇宙）皆“一”的一元论者。他指出：宇宙的统一和宣布这一统一首先是两件事；那两件事和宣布它们的二元性就成了三件事；那三件事和宣布它们的三元性就成了四……罗素认为“存在”一词的模糊足以使论据站不住脚。他还认为数字并不存在，只是逻辑虚构而已。——原注，（王永年译）
几乎没有人记得他前面的悖论——悖论的踪迹——虽然他的机制是一样的。运动是不可能的（芝诺说），因为运动体必须通过中项才能达到目标，在这个中项之前还有中项，另一个中项之前还有中项，之前还有中项……[3]
[5] Agrippa（活动期在1—2世纪），希腊怀疑论哲学家，既怀疑感觉提供的证明，又怀疑理解的可能性。
阿喀琉斯比乌龟的速度快十倍，并让乌龟先跑十米。阿喀琉斯跑完这十米，乌龟向前跑了一米；阿喀琉斯跑完这一米，乌龟向前跑了十厘米；阿喀琉斯跑完这十厘米，乌龟向前跑了一厘米；阿喀琉斯跑完这一厘米，乌龟向前跑了一毫米；飞毛腿阿喀琉斯跑完这一毫米，乌龟向前跑了十分之一毫米，就这样阿喀琉斯无限地跑下去，永远也赶不上乌龟……这是习惯的说法。威廉·卡佩勒（《前苏格拉底》，一九三五年，第一百七十八页）是直接从亚里士多德的原文译过来的：“芝诺的第二个悖论人称阿喀琉斯悖论，他说跑得最慢的人不会被跑得最快的人追赶上，因为追赶的人必须跨越被追赶者刚空下的位置，所以跑得最慢的人总是处于追赶他的人之前的一个特定的距离。”诚然，问题没有变化；不过我倒是想知道把其称之为英雄和乌龟的那位诗人的名字。这两位神奇的选手和下列级数正是他的理由混淆之处：
[6] Hermann Lotze（1817—1881），德国宗教哲学家，著有《微观世界》等。
现在，我们来回顾一下这个悖论。
[7] 我根据詹姆斯的表述（《多元宇宙》，一九○九年，第五十五至六十页）。文切尔的《费希纳和洛采》，一九二四年，第一百六十六至一百七十一页。——原注
这些文字在某种程度上是从属于想象中的《关于无限的历史》这本书的。其目的是谈谈芝诺第二个悖论的某些变形。
[8] Charles Renouvier（1815—1903），法国哲学家。
有教唆者和害人者这样一个概念。我不是指大写的“坏”，因为它有限的含义隶属于道德；我是指无限。有一次我曾渴望收集它的历史成因。人口众多的伊兹拉[1]（成为几何级数的先期形式或标志的沼泽怪胎）给它的守卫一个恰到好处的恐怖；卡夫卡惊悸的噩梦把它推向顶峰，他笔下的主要篇章不是不了解那位遥远的德国红衣主教——库萨的尼古拉[2]——的推测，他认为圆周是无限个角组成的多边形，他写道，一条无限长的线可能是一条直线、可能是一个圆也可能是球面（《论有学识的无知》，第一章第十三节）。用五六年时间学学形而上学、神学、数学将会使我（也许）能认真地筹划这本书。生命不让我有这个希望，更不用说“认真地”这个副词了，这是无须多说的。