1倍是3018
证实它是件轻而易举的事，但它同下面的证实没有区别，即有多少数字就有多少3018的倍数：
2倍是6036
5相对6，等等
3倍是9054
3相对4
4倍是12072，等等
1相对2
同样也可以证实它的乘方也是这样的，虽然随着运算的进行，它的数字越来越大。
最后，我谈一下我认为唯一具有独创性的反驳，这种独创性正是智力的美学所要求的美德。这是罗素提出来的。我是在威廉·詹姆斯那本最有名的著作——《哲学中的一些问题》——中看到的，它提出的全部观念可以研究罗素以后的作品——《数理哲学导论》（一九一九年），《我们关于外间世界的知识》（一九二六年）——不同凡响，但不令人满意的和深邃的作品。罗素认为，计数的运算是（本质上）两个级数的比较。例如：如果埃及所有家庭中的长子，除了居住家门上有一个红十字的以外，全部被天使杀死，很明显，有多少个红十字就有多少个长子免遭杀害，并没有必要数出有多少个人来。这里的数字是不确定的；还有其他一些运算，它们的数字也是无限的。数字的自然级数是无限的，但是我们可以证实有多少个奇数就有多少个偶数：
3018的1次方为3018
一方面我们把跑过的空间的可分割性用于运动，却忘记了可以分割物体而不能分割行为；另一方面我们习惯于把这个行为本身置放到空间中去，习惯于把它看作是运动者跑过的一条线，一句话，就是习惯于把它固定下来。我们认为，从混淆运动和跑过的空间中产生了伊利亚学派的诡辩；因为分开两个点的间隔是可以无限分割的，如果运动是由像间隔之类的东西组成的，那么间隔是永远不能逾越的。但事实是，阿喀琉斯跑出的每一步都是一个不可分割的简单行为，在这个行为实施到一定次数后，阿喀琉斯就会超越乌龟。伊利亚学派的错觉就来自把一系列个人的特殊行为等同于支持上述行为的均匀空间。由于这个空间可以根据任何规律进行分割和再组合，他们就认为有充分理由来重新组织阿喀琉斯的全部运动，不是用阿喀琉斯的步子，而是用乌龟的步子。实际上是把阿喀琉斯追赶乌龟这件事用两只乌龟来代替，按序把一只乌龟置于另一只乌龟之上，它们依次用同样的步子或同样的动作，使得它们永远也不能相互追上。为什么阿喀琉斯能追上乌龟？因为阿喀琉斯的每一步和乌龟的每一步都是同运动一样不可分割的，但它们的步幅在空间是不同的：所以不用多久就会追上的，阿喀琉斯跑过的空间就像是比乌龟跑过的空间和先跑的优势更长的长度。这是芝诺在重组阿喀琉斯的运动时没有考虑到的。对乌龟的运动也是同样对待的，他忘记了只有空间可以任意组合和再组合，他把空间和运动混淆了。（《时间与自由意志》，西班牙文版，第八十九、九十页，巴尔纳斯译。我顺便纠正了译者粗心产生的几个明显的错误。）该说法是有回旋余地的。柏格森认为空间是可以无限分割的，但他否认时间也可以这样分。为了分散读者的视线，他提出两只乌龟，而不是一只乌龟。他把原来不相干的时间和空间扯在一起：詹姆斯不连续的突发时间；以他完美热烈的新颖和普遍认为可以无限分割下去的空间。
3018的2次方为3018，即9108324
另一个反驳愿望是由亨利·柏格森于一九一○年在他有名的《时间与自由意志》中提出来的，书名就要求有原则。他是这样说的：
3018的3次方，等等
这个无限的等比级数之和的界限是十二（更确切的是；更精确的是），但是永远也不能穷尽。这就是说，阿喀琉斯的路程将是无限的，他将永远跑下去，但是他的奔跑终将在十二米之前变弱，他的永远奔跑不会超过十二秒。这个有条理的解释方法，这种向越来越小的前方无限制的奔跑，实际上同悖论是不矛盾的：是要好好地想象它的。我们也不要忘记证实奔跑者减弱速度不仅是由于目标的视觉缩小，还由于他必须跑过的微小位置急剧缩小的原因。我们还得证实，在对不动和减缓速度双重追求的失望中，这些持续的微小位置侵蚀着空间和以更紧张的活动侵蚀动态的时间。
正确地承认上述事实启发出一个公式，无限集合——例如：自然数系列——是其成员可展开成无限部分的集合。在这种计数的高位上，部分不会大于整体：宇宙中点的精确数字等于宇宙中一米内点的数字，或一厘米内点的数字，或距最遥远的星球之距离内的点数。这个聪明的答案可以解决阿喀琉斯的问题。乌龟占用的每个地方同阿喀琉斯占用的地方是成比例的，二者之间点点相符的对称，足以证明它们是一致的。开始时给予乌龟的定量优势已经绝无残留：乌龟路程的终点、阿喀琉斯的终点和赛跑中时间的终点，在数字上是同一个。这就是罗素的解决方法。詹姆斯不拒绝对手的技术优势，但他持有不同的看法。罗素的证明方法（他写道）回避了最大的困难，即是关系到无限是不断增长的范畴，而不是稳定的范畴，这是在他认为路程已跑完、认为问题是平衡路程之事的时候，唯一考虑到的。另一方面，没有说明是两个问题：一是各个奔跑者的情况，一是纯粹的真空时段，这就出现了困难，它在于有一个先期间隔不断重复出现和阻挡路程时要追上目标的困难（《哲学中的一些问题》，一九一一年，第一百八十一页）。
我不能预知读者的看法，但是我认为斯图亚特·密尔所设计的反驳不过是表达了原悖论而已。只要确定阿喀琉斯每秒钟跑一米，就可以知道他所需要的时间了。
不是我们的多疑，我的介绍已到了尾声。正如詹姆斯指出的，伊利亚的芝诺的悖论，不仅违反空间的现实，而且也违反了不受影响的和敏感的时间。我补充一点，具体物体的存在，不变化的稳定，生命中一个下午的流动，都会因生命的偶然性而惊讶。这种分解仅是通过无限这个词，这个令人忧虑的词（然后是概念）是我们胆大妄为地创造的，一旦把它变为思想，就会爆发和杀死思想。（另有一些反对讨论这个如此多变的词的古老教训：有中国梁代君王权杖的传说，每位新君王可得到权杖的一半；这样权杖就少一半；虽然权杖因君王更迭而缩短，但它始终存在着[2]。）在我介绍的种种极有价值的论点之后，我的意见似乎冒着不适当和平庸的危险。但我还是提出来：芝诺是不可回答的，除非我们相信空间和时间的完美性。让我们接受理想主义，接受感觉到的会具体成长，让我们回避悖论的相对面的集合。
在诡辩的结论中，永远是指任何一个可以想象到的时间时段，在其前提中，则指可分割时间的任意个数。这就是说我们可以把十个单位分成十份，其中的一份可以再分成十份，只要我们愿意，就可以一直分割下去，跑的路程可以无穷无尽地一直分割下去，因此用于跑的时间也可以一直分割下去。但是分割的无限可以用有限的东西来实施。这个理由仅证实了在五分钟内的无限而不是别的无限，只要五分钟没有过去，剩下的时间就可以用十分割，我们想分割多少次就可以分割多少次，这同在总的时间是五分钟的情况下是可以共存的。概括地说，它证实跑完这段有限路程需要一个可以无限分割的时间，但不是一个无限的时间（密尔：《逻辑体系》，第五卷第七章）。
我的读者可能会问：希腊的这一块阴暗面会涉及到我们的宇宙观吗？
现在我来介绍那些反驳它的看法。久远年代的那些看法——亚里士多德和霍布斯——包含在斯图亚特·密尔提出的看法中。他们认为，这个问题不过是混淆不清的谎言之一，并认为可以通过这样的界定来推翻它：
[1] G.H.Lewes（1817—1878），英国哲学家、批评家。
图书馆为我提供了关于这个悖论的两个文本。第一个是纯而又纯的《西班牙美洲词典》第二十三版上的。它把此悖论谨慎地简缩为一条消息：运动是不存在的，阿喀琉斯不可能追上迟缓的乌龟。我反对这种审慎的说法，我寻到G.H.刘易斯[1]不那么窘迫的表态，他的《哲学的历史传说》是我边阅读边思考的第一本书，我不知是由于自负还是由于好奇，就以这种态度记下了他的表述：象征快速的阿喀琉斯必定能追上象征迟缓的乌龟。阿喀琉斯跑得比乌龟快十倍，并让乌龟先跑十米。阿喀琉斯跑完这十米时，乌龟又向前跑了一米，阿喀琉斯再跑完这一米，乌龟又向前跑了十厘米；阿喀琉斯跑完这十厘米，乌龟又向前跑了一毫米；阿喀琉斯跑完这一毫米，乌龟又向前跑了十分之一毫米，这样永无尽头，所以，虽然阿喀琉斯一直跑下去，却永远不可能追上乌龟。这就是那个不朽的悖论。
[2] 博尔赫斯说的“中国梁代君王权杖”未见中国正史。《庄子·天下篇》“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，司马彪注：“棰，杖也。”博尔赫斯可能把它同秦始皇万世基业（二世、三世……）的设想糅合起来，并加以发挥。
珍品这个词自相矛盾的内涵——贵重而轻巧，脆弱而不易碎，便于转让，清新而又不排斥异质，乃是经久不败的花朵——完全可以在这里借用它。我不知道还有其他比它更好的词来定义阿喀琉斯的悖论。两千三百多年以来，它面对各种诋毁而岿然不动，我们完全可以为它的不朽而高声欢呼了。对这种持久体现出来的神秘作不间断的探索，它对人类机敏无知发出的挑战，是我们不能不感谢的慷慨。我们再一次提及它，哪怕只是为了对它的迷惑和最本质的秘密表示折服。我想用几句话——共有的几分钟——把它介绍一下并简述那些反驳它的最有名的论断。众所周知，提出这个论点的是伊利亚的芝诺，他是巴门尼德的学生，他否定在宇宙内有发生什么的可能。