1=6σ上
-4σ上+1=2σ上
σ上=1/6
EP左=EP右
总结，如果他向上的概率是1/6，向下的概率是5/6，她无论怎样选择都可以达到同样的期望收益。他采用这种混合策略时，她向左还是向右都不会得到更高的分数。
我们现在要设EP左=EP右来找到让她可以不在乎他作何选择的σ上。得出等式：
现在让我们跳过这些来从她的角度看他的收益。为了能让他在她的混合策略面前随意选择，她向左的概率是σ左，向右的概率是（1-σ左）。我们从他的期望收益开始：
EP右=（σ上）（2）+（1-σ上）（0）=2σ上
EP上=（σ左）（3）+（1-σ左）（-2）=5σ左-2
EP左=（σ上）（-3）+（1-σ上）（1）=-4σ上+1
EP下=（σ左）（-1）+（1-σ左）（0）=-σ左
就像我们看到的这样，博弈论的分析让我们可以用代数的方法计算怎样才能得到理想的纳什均衡。我们又找到了博弈者在对手采取纯策略时的无差别点。他向上的概率变成了我们需要求解的未知数σ上。如果他向上的概率是σ上，我们就知道他向下的概率必然是（1-σ上）。所以我们可以计算出另一位玩家（“她”）的期望收益：
接着，我们用这个等式找到他达到无差别点时的概率σ左：
所以，如果他掷出无偏硬币来决定向上还是向下，她就应该采取向右的纯策略，因为这样的期望收益大于向左的。既然他知道这些，就不会用掷硬币的方法随机选择了。
EP上=EP下
EP右=（0.5）（2）+（0.5）（0）=1
5σ左-2=-σ左
向右，她的期望收益为：
6σ左=2
EP左=（0.5）（-3）+（0.5）（1）=-1
σ左=1/3
这种博弈不存在纯策略纳什均衡——双方都不可能同时获得最大收益。但是，我们现在来看混合策略均衡。双方基于特定的概率做出选择。（我们再次假设博弈有很多轮。）他用抛硬币的方法决定向上还是向下。结果是，他随机选择每个选项的概率都是50%。所以她向左的期望收益就是：
我们发现如果她向左的概率是1/3，向右的概率是2/3，那么她的混合条件策略选择对他没有影响。
当我们把他们双方的混合策略联系起来，就得到了这个博弈的混合策略纳什均衡。所以即使没有纯策略纳什均衡，博弈中也可以有混合策略纳什均衡。
表F3—8 玩家收益
这种混合策略也会影响婚恋关系。婚恋关系中的行为也是频繁且有一定概率的交易。即使当纯策略博弈不能解决时，博弈中也可以有纳什均衡，这真是个好消息。这样我们就可以把它应用到婚恋关系中，判断是接受还是拒绝做爱的邀请。
在“胜者通吃”的博弈中，收益表的每个格子中都存在一个赢家和一个输家。在下面的例子中，两位玩家同时移动桌子上的扑克牌，结果如表F3—8所示。
接受还是拒绝性行为
零和博弈
让我们回到艾米和伊恩的例子上。每一天，他们中的一个都会对另一个发起性行为。假设他们的收益相等，那么收益如表F3—9所示。
为了达到均衡，类似的计算显示，混合策略在另一种情况下同样有效。如果海斯特猎鹿和猎兔的概率都是1/2，维克多的选择对结果没有影响。所以当每个人猎鹿和猎兔的概率都是1/2时，这些选择就是一个混合策略纳什均衡。
表F3—9 伊恩和艾米的收益
所以，如果维克多猎鹿的概率为1/2，猎兔的概率也为1/2的话，海斯特就不会在意他的选择。维克多的选择不会影响她的收益。所以混合策略而非纯策略，对维克多来说是一种纳什均衡。
σ鹿=1/2
伊恩和艾米都接受性行为时，分别会给出最高分（5,5）。他们喜欢做爱，并且希望做很多。他们都拒绝性行为时也会给出低分（0,0）。这说得通。在“混搭”的格子中，如果艾米接受而伊恩拒绝，艾米就会因为被拒绝而不高兴，所以她得到的收益为-1，而伊恩得到1。这说明她有被拒绝的感觉，他感觉良好。相应地，如果艾米拒绝而伊恩接受，艾米就得到1，而伊恩得-1。这个多次重复概率看起来是一种合理的心理设置，符合我们对伴侣的假设。
2σ鹿=1
所以这里的纯策略纳什均衡——让他们都得到最优解的方法是什么？实际上只有一个。让我们从伊恩的角度看这两个选择，见表F3—10。
3σ鹿=1+σ鹿
表F3—10 伊恩接受
（3）（σ鹿）+（0）（1-σ鹿）=（2）（σ鹿）+（1）（1-σ鹿）
现在如果我们设EP鹿=EP兔，那么维克多的行为对海斯特的收益就没有影响，不管他怎么混合选择。所以维克多的混合选择对于海斯特是可接受的（达到了她的无差别点）。
显然，表示最佳结果的星号标注在5后。如果他拒绝，请看表F3—11。
EP海斯特猎兔=（2）（σ鹿）+（1）（1-σ鹿）
表F3—11 伊恩拒绝
如果海斯特猎兔：
EP海斯特猎鹿=（3）（σ鹿）+（0）（1-σ鹿）
星号在1后。从艾米的角度看，见表F3—12。
我们假设维克多决定去猎鹿的可能性为σ鹿（字母“σ”表示可能性），猎兔的可能性为（1-σ鹿）。然后，如果维克多猎鹿的可能性是σ鹿，猎兔的可能性是（1-σ鹿），那么，如果海斯特猎鹿，她的期望收益（EP）则为：
表F3—12 艾米接受
现在我们有了基本原则，让我们看看如果海斯特和维克多一遍遍地进行这个博弈并且使用各种策略搭配会发生什么。重复博弈后的情况有点类似真实婚恋关系中的伴侣，因为他们在生活中有过一次又一次的博弈。例如，他们有一半时间同时选择猎鹿或者猎兔，但实际上我们可以通过彼此的角度找到最佳的重复策略（称为混合策略）。
另一个解（1*,1*）也被认为是一个纯策略纳什均衡，尽管玩家双方得到的分数更低。如果维克多改去猎鹿，他的分数就会从1变成0，不是个好策略。对于海斯特来说，擅自改主意也不是一个好选择。
星号显然在5后。如果她拒绝性行为，见表F3—13。
你会发现有两个格子都打了星号——这就是玩家的最佳结果。我们把这种双星格子称为博弈的“解”。为什么？因为这表示在这种情况下没有一个玩家能够在只改变自己的情况下做出更好的选择。比如，让我们看都去猎鹿的格子（3*,3*）。如果维克多改去猎兔，他的收益就会从3降到2，不是个好选择。海斯特也会面临同样的结果。（3*,3*）格子就被称为博弈的“纯策略”纳什均衡。没有人能够仅凭自己换用另一种策略就做得更好。
表F3—13 艾米拒绝
表F3—7 维克多和海斯特捕猎的收益
这次星号在1后。所以把它们合并为表F3—14。
把这些小表格合并成一张大表F3—7。
表F3—14 伊恩和艾米的选择
表F3—6 维克多猎兔时海斯特捕猎的收益
所以，只有一种纯策略纳什均衡，就是他们都接受性行为。这并不让人感到惊讶。到现在为止，一切都说得通。但我们现在要知道双方接受性行为的概率和伴侣对性行为频率的期望。我们可以通过下面的表F3—15和表F3—16计算出伊恩的无差别点。
如果维克多猎兔，海斯特面临的状况如表F3—6所示。
表F3—15 伊恩接受
表F3—5 维克多猎鹿时海斯特捕猎的收益
表F3—16 伊恩拒绝
在这种情况下，猎兔比猎鹿对维克多来说更具有“严格优势”。我们现在来从海斯特的角度看一看。对于海斯特来说，如果维克多猎鹿，她的最佳选择也是猎鹿，如表F3—5所示。
EP艾米同意=5σ同意+（-1）（1-σ同意）
表F3—4 海斯特猎兔时维克多捕猎的收益
EP艾米拒绝=1σ同意+（0）（1-σ同意）
现在，让我们从表F3—4来看看海斯特选择猎兔对维克多的影响。
若要伊恩达到无差别点，则EP艾米同意=EP艾米拒绝
猎鹿比猎兔可以得到更多分，所以我们在这个选择后面打上一个星（*）。在博弈论的语境下，我们说猎鹿比起猎兔对维克多来说更具有“严格优势”。这显然是个更好的选择。
5σ同意-1+σ同意=σ同意
5σ同意=1
表F3—3 海斯特猎鹿时维克多捕猎的收益
σ同意=1/5
为了便于分析这个博弈，我们先从维克多的角度看待这个局面。既然海斯特的收益暂时和我们无关，我就在下面的表F3—3用问号（？）表示。
如果让伊恩的收益达到无差别点，那么艾米的混合策略就是1/5的时间里接受性行为，其他4/5的时间里拒绝。那么伊恩的混合策略该是什么呢？通过表F3—12与表F3—13计算如下：
EP伊恩同意=5σ同意+（-1）（1-σ同意）
表F3—2 维克多和海斯特的收益
EP伊恩拒绝=1σ同意+（0）（1-σ同意）
海斯特和她的丈夫维克多进入了丛林。他们可以选择猎兔或者猎鹿。他们必须同时做出选择，而不能商量。计分方式如下：猎鹿需要两个人。所以如果一个人在另一个人选择猎鹿时选择去猎兔，那么他就能抓到所有的兔子（+2），猎鹿者就只能空手而归（0）。如果他们能够联合起来猎鹿，就可以分别得到3分。如果他们一起去猎兔，就得分享战利品，所以每个人得1分。得分方式呈现在表F3—2中。（括号中的第一个数字代表维克多的收益，第二个代表海斯特的。）
若要艾米达到无差别点，则EP伊恩同意=EP伊恩拒绝
博弈论用这种表格分析行为。它创造了不同的情景，或称“博弈”，然后计算每位玩家的相关收益。这取决于他们追求的策略。一种博弈被称为“猎鹿”，这是一种协作，而不是竞争，所以非常符合现在的状况。
5σ同意-1+σ同意=σ同意
σ同意=1/5
表F3—1 夫妻笑容回报率
如果伊恩在1/5的时间里同意性行为，4/5的时间里拒绝，那么艾米就会达到收益的无差别点。好吧，我们终于找到了混合策略纳什均衡。太好了！
我们会用-5到+5之间的数值计分。妻子觉得丈夫的微笑很棒，所以她给了+5分。但是丈夫给了妻子-3分，见表F3—1。
根据这张收益表，他们实际的性行为频率会是怎样的呢？既然他们双方都必须接受性行为的发生，双方同时接受的概率是（1/5）（1/5）=1/25=0.04，也就是4%。在一年的365天里，他们大约会有15天进行性行为（差不多3周1次）。对于这对伴侣来说出奇地低。既然他们已经建立起一个合理的心理模型，那么问题在什么地方呢？
如果我们用分数来计算这些评价，就可以画出一张小表格，类似我们在第1章中给阿尔和珍妮分配家务活而画的那个。我们将这种类型的表格称为“收益表格”。它显示出每个人在交易中的收益。
现在我们往好处看。我们再来看看最初的博弈论表格，用变量r来表示拒绝性行为的收益，见表F3—17。
我们知道博弈论的基本观点是人们根据他们获得的收益来评估他们和其他人的交易。尽管我们可能没有察觉，但我们每时每刻都在给婚恋关系打分。比如一对伴侣经过漫长的一天后终于见面了。丈夫给了妻子一个灿烂的笑脸，妻子却三心二意地回了一个。他们双方都会对彼此的回应打分。换句话说，他们会把这个微笑和对方的其他微笑以及其他人（甚至想象出来的其他人）的微笑作比较。妻子可能会想：“他给了我一个多么灿烂的笑脸啊。我不能想象其他任何人看到我会这么高兴。”但是丈夫可能会想：“她这次没有以前笑得开心。我甚至能想象其他人打招呼时给我的微笑都比这个显得高兴。”
表F3—17 拒绝的收益
混合策略下的收益
但是不要因此就接受我所说的话。我们用数字说话。
对于艾米来说，混合等式就变成了：
伊恩关切的回答和传统的回答“你怎么老头疼”大相径庭。这种回答方式也更加有效。拒绝得到正面收益并没有让艾米以后变得更容易拒绝。相反，这种收益强化了伊恩对她的爱。这才是他们性生活的核心，这才叫“做爱”而不只是提高了性宣泄的频率。从本质来讲，艾米对性行为说“不”，伊恩的回答让她得到了被爱的感觉。我们都知道，在一个充满关爱的气氛中，性行为才会变得更频繁。在互信的婚恋关系中，性行为并不是为了满足色欲。更多的时间里，性行为是在制造爱。
5σ同意+（r）（1-σ同意）=（r）（σ同意）+（0）（1-σ同意）
伊恩：可怜的宝贝。我完全理解。我爱你。
σ同意（5-2r）=r
艾米：今晚不行。我头疼。
σ同意=r/（5-2r）
另一种场景：当艾米拒绝了做爱的请求，伊恩接受了。就像刚才一样，他没有怀恨在心。没有把做爱看成自己的正当权利。艾米甚至从说“不”中得到了一点正面收益。下面的例子是一个经得起时间考验的场景：
如果我们想让σ同意=0.5，那么r必须为1.25。对于伊恩来说等式也是一样的。所以如果我们让r=1.25，他们性行为的概率就是（1/2）（1/2）=0.25。这就是说如果r=1.25，那么他们一年就会有91次性行为——大约每周1.8次。
设想这两种场景：伊恩正兴致勃勃，但艾米却没有。他知道他不得不接受艾米的拒绝，但是他感觉很糟。他坚信艾米拒绝了他的正当权利。如果他不能让艾米改变，不论他做出什么消极反应，他对艾米的惩罚都传递出这样的信号：你不能对我说不。当然，这绝不会让艾米燃起兴趣，只会造成相反的效果，让他们之间的愤懑和紧张升级，还可能会让艾米下次更没兴趣做爱。
这个数字和在全美范围内进行统计得到的平均值十分接近。如果把r设定得更高（也就是让拒绝的收益变大），那么他们的性行为就会更加频繁！比如，如果r=1.53，那么σ同意=0.80。艾米80%的时候都会同意。所以他们性行为的次数就是0.8×0.8×365=233天/每年，也就是1周4次。对于伊恩和艾米来说简直太好了。
下面，我就告诉你我是怎么用博弈论解决这个常见悖论的。有意思的是：经常做爱的伴侣中的一方从不会因对方拒绝而发怒，或者排斥或惩罚对方。说“不”的一方一定不会收到任何负面效益。事实上，拒绝的一方甚至还会得到很多正面收益。
这个结果表明，伴侣要想有更多的性行为，他们中的任何一个完全可以——甚至最好——经常拒绝。实际上说“不”反而会得到正面收益。这个结果可能会让你震惊，但在数学上是合理的。
在美国人的卧室里究竟发生了什么？没什么，越来越多的研究发现，因为某些原因，在长期婚恋关系中，性生活减少的现象越来越普遍了。尽管原因不明，但专家常常将此归咎于女性缺乏热情。要么说女性的性欲下降，要么说她们把精力放在孩子身上而不是婚恋关系上。制药公司发现了这种欲望的差异，争相成为第一种女性伟哥类产品的制造者。但女性真的需要药物来帮助她们进入状态吗？我不这么认为。这个问题的解决方式简单到难以置信。我用博弈论的方法找到了它——就像我研究信任和背叛那样。这种方法得出的结论可以帮助每对伴侣重新点燃爱火——没有人需要为了这些福利去解码数学公式。
我知道很多人觉得这件事非常复杂，很难理解。但是我们计算的这个解并不复杂。这种博弈论的分析给欲望减退的伴侣提供了一种简单的方法。如果你们中的任何一个人可以说“今晚不行”，就会有更多个“今晚可以”在等着你们。不需要女性伟哥，只要变得更敏感一点。