这条自指语句与前文的悖论有异曲同工之妙。首先，这个数学命题所讨论的对象不是别的，恰恰是它自己。“本数学命题”就是对整个命题的指代。其次，该命题给出了一个逻辑判断，即这条命题是不可以被证明的。这个句子本身似乎并没有那么邪恶，然而只要我们一开始用逻辑的头脑解读它，它就变成了一句魔咒，直接摧毁了希尔伯特的完备一致性猜想。
图2-2 库尔特·哥德尔及其签名
本数学定理不可以被证明。
根据逻辑排中律，这条数学命题非真即假。如果这个数学命题是真命题，并且根据它自己的论述，它不能被证明。于是，我们得到了一条真理，但却不能被我们的数学公理化系统所证明，因此，希尔伯特要求的完备性不能得到保证。如果这个数学命题是假命题，这意味着“本数学命题不可以被证明”这个命题是可以被证明的。于是，从公理出发，我们能够得到“本数学命题不可以被证明”这一命题。而按照假定，“本数学命题可以被证明”是真理，所以根据完备性，它也必然是系统中的定理。于是，正命题和反命题同时都是系统中的定理，一致性遭到了破坏。
不完备性定理针对的是数学的公理化系统。在希尔伯特眼里，公理化系统应该同时具备两种优雅的特性：一致性和完备性。一致性指公理化系统中不存在矛盾；完备性指所有真命题都可以由公理化系统证实。如此一来，公理化系统，乃至整个数学就成为一个自洽的整体，要想获得真知，只要在这个超级的公理化系统中不停地推导就可以了。遗憾的是，希尔伯特理想中坚不可摧的数学城堡终究只是不堪一击的盐沙之基，它的命门就在于对自指的迷惑：
综上所述，我们可以断言：对于一个具备自指能力的数学公理化系统，一致性和完备性不能兼得。这便是第二不完备性定理。当然，在哥德尔的原始论文中，所有的表述都是使用严格的数学语言来表达的。
这句话到底是对还是错呢？如果它是对的，得到的结论就和判断本身相悖；如果它是错的，又证明它代表的实际判断是对的。无论如何，这句话带来的都是自相矛盾的结果。这种逻辑上自相矛盾的论断就是悖论。由于这句话中涉及了对自身的指代，这类悖论也因而被称为自指悖论。自指悖论的出现挑战了非黑即白的世界观，也为不完备性定理的证实埋下了草绳灰线。
不完备性定理的应用不仅仅限于纯数学领域，它对一切抽象性问题的分析都产生了深远的影响，自然也包括了计算机科学和人工智能的发展。人类之所以会把实现人工智能的期望寄托在计算机身上，其基础在于“认知的本质是计算”这一著名论断。截至目前，所有的计算机都未能超出图灵机的范畴，也就必须遵循数理逻辑定义的规则。从“认知即计算”的角度出发，基于计算机的人工智能如果想要达到近似人类的思维能力，也必须建立起“自我”的概念，这无疑会导致自指的出现，也将成为不完备性定理的活靶子：如果计算机能在运算中制造出一个代表自身的符号，那么哥德尔制造悖论的方式就可以在计算机中造出不可证实也不可证伪的飘渺仙境。据此，基于图灵机理论模型的计算机绝无可能拥有代表自我的符号，也就绝无可能达到人类智能的水平。毕竟人类既能执行逻辑思维又能超越逻辑思维（谈恋爱时讲逻辑？那你注定要孤独一生哟！），而直到今天，一切试图以纯逻辑来描述世界的尝试都以失败告终。
这句话是错的。
利用不完备性定理预测人工智能的前景并非民间科学家的自说自话，主流学界也早已发声表态。达特茅斯会议召开后仅仅5年，美国哲学家约翰·卢卡斯（John Lucas）便发表论文《心、机器、哥德尔》，提出了著名的“卢卡斯论证”，以激烈的言辞试图用哥德尔定理证明计算机的智能水平无法达到人类水准：“依我看，哥德尔定理证明了机械论是错误的，也就是说，心不能解释成机器。”因为，“无论我们造出多么复杂的机器，只要它是机器，就将对应于一个形式系统，接着就能找到一个在该系统内不可证的公式而使之受到哥德尔构造不可判定命题那种程序的打击，机器不能把这个公式作为定理推导出来，但是人心却能看出它是真的。因此这台机器不是心的一个恰当模型。人们总想制造心的一种机械模型，即从本质上是‘死’的模型，而心是‘活’的，它总能比任何形式的、僵死的系统干得好。”
为了通俗地解释不完备性定理，我们先来看一句话：
1989年，卢卡斯的牛津同侪，英国数学家和物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）在风靡全球的著作《皇帝新脑——计算机、心智和物理定律》中发展了卢卡斯论证，以大量笔墨试图基于不完备性定理推导出“人心超过计算机”的结论，被称为“对哥德尔定理令人吃惊的强应用”，在学界引发了广泛争议。彭罗斯的一个强硬论证是：根据哥德尔定理可以“像在数学中所做的那样，严格证明”数学真理的概念不可能包容于形式主义的框架之中，数学真理是某种超越纯粹形式主义的东西，人类判断数学真理的过程是超越任何算法的。这是因为，意识是我们赖以理解数学真理的关键，这种意识使我们能够借直觉的洞察力“看出”某些在数学形式系统中不能证明的数学命题的真理性，而这种意识是不能被形式化的，它必定是非算法的。因此人工智能绝不可能超越人类心智，所谓强人工智能不过是专家所钟爱的，与皇帝的新衣一般无二的一副“皇帝新脑”而已。
在任何包含初等数论的形式系统中，都必定存在一个不可判定命题。
计算机是人类为了自身目的而设计制造的，这种制造者与被制造者之间的强关系将人置于一个面对面地统治机器的绝对优越地位，这种地位究竟是一种社会学意义上的优越，还是计算机和人的智能的本质特性所决定的？是像哥德尔断定的，存在与物质相分离的心能超越任何计算机去发现和证明某些数学定理；抑或如彭罗斯断言，人心具有一种特殊的能力，这种能力是建立在迄今未予发现的某些物理学规律的基础上，而且人心能超越任何计算机实现非算法的运算？这些都是我们需要深入探讨的问题。
虽然意义重大，但不完备性定理的表述却令人惊讶地简洁，第一不完备性定理内容为：
人工智能，甚至整个认知理论正在面临着一场研究纲领的变革。在哥德尔不完备性定理的阴影下，基于图灵可计算概念的“认知可计算主义”研究纲领已经显示出其极大的局限。如果以“认知的算法不可完全性”为核心的研究纲领取而代之，人类就必将探索新的非图灵机概念来尝试解决人工智能更深层的问题，以摆脱在理论和实践上的困境。当然，解决这些问题除了靠哲学思辩，更需要依赖于科学的进展和精细的逻辑应用的研究。解决人类智能的极限和人工智能的极限问题，除了与绕不开的哥德尔不完备性定理有关外，还需要对大脑和计算机更精细的模型做更大胆的研究，而且还需要将学习、问题求解、对策理论与实数论、逼近论、概率论和几何学知识结合在一起，探索其如何对问题的解起实质性作用。
谈论通用人工智能，哥德尔不完备性定理就是个不可回避的问题。这一定理由奥地利数学家库哥德尔提出——就是气走冯诺伊曼那位老兄，是对希尔伯特提出的23大难题中第二个的回应。遗憾的是，哥德尔发现的不完备性定理对第二问题给出了否定性的答案，颠覆了数理逻辑大厦的基础，一度大大动摇了人们对于公理化方法和数学，甚至于整个科学的信心。当提问者希尔伯特得知哥德尔的研究结果后，哀叹“哥廷根数学已死”；撰写《数学原理》的罗素得知哥德尔的研究结果后，心灰意冷转而研究哲学，并于1950年以另一部巨著《西方哲学史》摘取诺贝尔文学奖，真可谓塞翁失马焉知非福。